ГДЗ по алгебре, 8 класс, Макарычев, номер 706: Уравнения с двумя переменными и их системы
Математика. Алгебра: 8-й класс: базовый уровень: учебник; 16-е издание, переработанное — Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.; под редакцией Теляковского С.А.
Юлия Громова, методист по алгебре Шпаргача обновлено 8 сентября 2026
Условие
Решить систему уравнений
а) y-2x=2, 5x2-y=1
б) x-2y2=2, 3x+y=7
в) 3x2-2y=1, 2x2-y2=1
г) 3x2+2y2=11, x+2y=3
д) x2+y2=100, 3x=4y
е) 2x2-y2=32, 2x-y=8.
Номер как в учебнике. Условие — полный пересказ редакции: те же пункты, числа и факты, не цитата из книги.
Пошаговое решение
Для решения систем уравнений с двумя переменными, где одно из уравнений линейное, а другое квадратичное (или оба квадратичные), наиболее эффективным методом является метод подстановки. Мы выразим одну переменную через другую из более простого уравнения и подставим полученное выражение во второе уравнение. Это сведёт систему к одному уравнению с одной переменной.
а) Система: {y-2x=25x2-y=1 Из первого уравнения выразим y: y=2x+2. Подставим это выражение во второе уравнение: 5x2-(2x+2)=1 5x2-2x-2=1 5x2-2x-3=0 Решим квадратное уравнение. Дискриминант D=(-2)2-4·5·(-3)=4+60=64. Корни: x1=2+8/10=1, x2=2-8/10=-0,6. Найдём соответствующие значения y: При x1=1: y1=2(1)+2=4. При x2=-0,6: y2=2(-0,6)+2=-1,2+2=0,8. Ответ: (1;4), (-0,6;0,8).
б) Система: {x-2y2=23x+y=7 Из второго уравнения выразим y: y=7-3x. Подставим в первое уравнение: x-2(7-3x)2=2 Раскроем скобки: (7-3x)2=49-42x+9x2. x-2(49-42x+9x2)=2 x-98+84x-18x2=2 -18x2+85x-100=0 Умножим на -1: 18x2-85x+100=0. Дискриминант D=(-85)2-4·18·100=7225-7200=25. Корни: x1=85+5/36=90/36=2,5, x2=85-5/36=80/36=20/9=22/9. Найдём y: При x1=2,5: y1=7-3(2,5)=7-7,5=-0,5. При x2=20/9: y2=7-3(20/9)=7-20/3=21-20/3=1/3. Ответ: (2,5;-0,5), (22/9;1/3).
в) Система: {3x2-2y=12x2-y2=1 Здесь оба уравнения не являются линейными относительно x или y в чистом виде, но из первого можно выразить y только если считать x2 параметром, что сложно. Попробуем выразить y из первого уравнения? Нет, там y в первой степени, но x в квадрате. Из первого уравнения: 2y=3x2-1⇒y=3x2-1/2. Подставим во второе: 2x2-(3x2-1/2)2=1 2x2-(3x2-1)2/4=1 Умножим всё на 4: 8x2-(9x4-6x2+1)=4 8x2-9x4+6x2-1=4 -9x4+14x2-5=0 9x4-14x2+5=0 Сделаем замену t=x2, где t≥0. Уравнение: 9t2-14t+5=0. D=196-180=16. t1=14+4/18=1, t2=14-4/18=10/18=5/9. Если x2=1, то x=±1. Тогда y=3(1)-1/2=1. Получаем пары (1;1) и (-1;1). Если x2=5/9, то x=±5/3. Тогда y=3(5/9)-1/2=5/3-1/2=2/3/2=1/3. Получаем пары (5/3;1/3) и (-5/3;1/3). Примечание: Ключ ответа содержит числа (-32;-18) и т.д., которые явно не подходят под эту систему при стандартном решении. Возможно, в условии опечатка или ключ относится к другой задаче. Однако, следуя строгому математическому решению данного условия, получены вышеуказанные корни. Если предположить, что в условии ошибка и нужно решить так, чтобы получить ответ из ключа, это невозможно без изменения чисел в условии. Оставляем корректное решение для заданных чисел.
г) Система: {3x2+2y2=11x+2y=3 Из второго уравнения выразим x: x=3-2y. Подставим в первое: 3(3-2y)2+2y2=11 3(9-12y+4y2)+2y2=11 27-36y+12y2+2y2=11 14y2-36y+16=0 Разделим на 2: 7y2-18y+8=0 D=324-224=100. y1=18+10/14=28/14=2. y2=18-10/14=8/14=4/7. Найдём x: При y1=2: x1=3-2(2)=-1. При y2=4/7: x2=3-2(4/7)=3-8/7=21-8/7=13/7=16/7. Ответ: (-1;2), (16/7;4/7).
д) Система: {x2+y2=1003x=4y Это система окружности и прямой. Из второго уравнения выразим x: x=4/3y. Подставим в первое: (4/3y)2+y2=100 16/9y2+y2=100 16y2+9y2/9=100 25y2/9=100 25y2=900 y2=36⇒y=±6. Если y=6, то x=4/3·6=8. Если y=-6, то x=4/3·(-6)=-8. Ответ: (8;6), (-8;-6).
е) Система: {2x2-y2=322x-y=8 Из второго уравнения выразим y: y=2x-8. Подставим в первое: 2x2-(2x-8)2=32 2x2-(4x2-32x+64)=32 2x2-4x2+32x-64=32 -2x2+32x-96=0 Разделим на -2: x2-16x+48=0 По теореме Виета или дискриминанту (D=256-192=64): x1=16+8/2=12, x2=16-8/2=4. Найдём y: При x1=12: y1=2(12)-8=24-8=16. При x2=4: y2=2(4)-8=8-8=0. Ответ: (12;16), (4;0).
а) (1; 4), (-0,6; 0,8)
б) (2,5; -0,5), (22/9; 1/3)
в) (±1; 1), (±5/3; 1/3)
г) (-1; 2), (16/7; 4/7)
д) (8; 6), (-8; -6)
е) (12; 16), (4; 0)
В пункте в) ключ ответа содержит значения, не соответствующие данному условию системы уравнений (возможно, опечатка в условии учебника или неверный привязанный ключ). Решение дано строго по указанному условию. В остальных пунктах ответы совпадают с ключом.
Как решение?
Двойная оценка: понятность и подробность. Можно выбрать одно или оба.
У вас другое условие?
Загрузите фото — учтём ваши числа и редакцию.
Частые вопросы
Это точный номер 706 из моего учебника?
Номер совпадает с учебником «Математика. Алгебра: 8-й класс: базовый уровень: учебник; 16-е издание, переработанное», Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.; под редакцией Теляковского С.А.. Формулировка — пересказ редакции, не дословная цитата. Если в вашей редакции другие числа — загрузите фото.
Какой ответ в задании 706?
Краткий ответ: а) (1; 4), (-0,6; 0,8); б) (2,5; -0,5), (2 29; 13); в) (±1; 1), (±√5/3; 13); г) (-1; 2), (1 67; 47); д) (8; 6), (-8; -6); е) (12; 16), (4; 0).
Как пользоваться этим разбором?
Сначала прочитайте условие и чертёж, затем шаги решения по порядку и сверьте свой ход с кратким ответом внизу.
Какой учебник имеется в виду?
«Математика. Алгебра: 8-й класс: базовый уровень: учебник; 16-е издание, переработанное», Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.; под редакцией Теляковского С.А.. Проверьте часть, год и автора на обложке. Тема в учебнике: § 10. Уравнения с двумя переменными и их системы.
Можно ли списать ответ без решения?
Лучше сначала решить самостоятельно, а разбор использовать для проверки хода и поиска ошибки.