8 класс Уравнения с двумя переменными и их системы § 10. Уравнения с двумя переменными и их системы

ГДЗ по алгебре, 8 класс, Макарычев, номер 707: Уравнения с двумя переменными и их системы

Математика. Алгебра: 8-й класс: базовый уровень: учебник; 16-е издание, переработанное — Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.; под редакцией Теляковского С.А.

Юлия Громова, методист по алгебре Шпаргача обновлено 8 сентября 2026

← 706 708 →

Условие

Решить систему уравнений, используя способ сложения или подстановки

а) 2x²+y²=9, x²-y²=3

б) 2x²-xy=33, 4x-y=17

в) 3x²-2y=1, 2x²-y²=1

г) x-y-4=0, x²+y²=8,5

д) x²+4y=10, x-2y=-5

е) x-2y+1=0, 5xy+y²=16.

Номер как в учебнике. Условие — полный пересказ редакции: те же пункты, числа и факты, не цитата из книги.

Пошаговое решение

В этой задаче нам нужно решить шесть систем уравнений. Для каждой системы мы выберем наиболее удобный метод: способ подстановки или способ сложения (включая замену переменных для нелинейных случаев). Разберём каждый пункт подробно.

а) Система: {2x²+y²=9x²-y²=3

План: Заметим, что коэффициенты при y² противоположны (1 и -1). Применим способ сложения.
Вычисление: Сложим оба уравнения: (2x²+y²)+(x²-y²)=9+3 3x²=12impliesx²=4impliesx₁=2, x₂=-2 Подставим найденные значения x во второе уравнение x²-y²=3. Так как x²=4, то: 4-y²=3impliesy²=1impliesy₁=1, y₂=-1 Так как в уравнении фигурируют только квадраты переменных, каждая комбинация знаков подходит. Ответ: (2;1),(2;-1),(-2;1),(-2;-1).
Проверка: Возьмём пару (2;1). Первое уравнение: 2(2)²+1²=8+1=9. Второе: 2²-1²=4-1=3. Верно.

б) Система: {2x²-xy=334x-y=17

План: Из второго линейного уравнения удобно выразить одну переменную через другую. Выразим y.
Вычисление: Из 4x-y=17 получаем y=4x-17. Подставим это выражение в первое уравнение: 2x²-x(4x-17)=33 2x²-4x²+17x=33 -2x²+17x-33=0 Умножим на -1: 2x²-17x+33=0. Найдём дискриминант: D=(-17)²-4·2·33=289-264=25 x_1,2=17±5/4 x₁=22/4=5.5, x₂=12/4=3. Найдём соответствующие y: При x₁=5.5: y₁=4(5.5)-17=22-17=5. При x₂=3: y₂=4(3)-17=12-17=-5. Ответ: (5.5;5),(3;-5).
Проверка: Пара (3;-5). Второе ур.: 4(3)-(-5)=12+5=17. Первое ур.: 2(9)-3(-5)=18+15=33. Верно.

в) Система: {3x²-2y=12x²-y²=1

План: Из первого уравнения выразим y через x², так как оно линейно относительно y. Затем подставим во второе.
Вычисление: Из 3x²-2y=1 следует 2y=3x²-1impliesy=3x²-1/2. Подставим во второе уравнение 2x²-y²=1: 2x²-(3x²-1/2)²=1 Обозначим t=x² (t≥0). Уравнение примет вид: 2t-(3t-1)²/4=1 Умножим на 4: 8t-(9t²-6t+1)=4 8t-9t²+6t-1-4=0 -9t²+14t-5=0implies9t²-14t+5=0 Дискриминант: D=196-4·9·5=196-180=16. t_1,2=14±4/18 t₁=18/18=1, t₂=10/18=5/9. Случай 1: x²=1impliesx=±1. Тогда y=3(1)-1/2=1. Корни: (1;1),(-1;1). Случай 2: x²=5/9impliesx=±5/3. Тогда y=3(5/9)-1/2=5/3-1/2=2/3/2=1/3. Корни: (5/3;1/3),(-5/3;1/3). Ответ: (1;1),(-1;1),(5/3;1/3),(-5/3;1/3).
Проверка: Для (1;1): 3(1)-2(1)=1, 2(1)-1=1. Верно.

г) Система: {x-y-4=0x²+y²=8.5

План: Это система «линейное + квадратичное». Используем подстановку. Из первого уравнения выразим x.
Вычисление: x=y+4. Подставим во второе уравнение: (y+4)²+y²=8.5 y²+8y+16+y²=8.5 2y²+8y+7.5=0 Умножим на 2 для удобства: 4y²+16y+15=0. Дискриминант: D=16²-4·4·15=256-240=16. y_1,2=-16±4/8 y₁=-12/8=-1.5, y₂=-20/8=-2.5. Найдём x: При y₁=-1.5: x₁=-1.5+4=2.5. При y₂=-2.5: x₂=-2.5+4=1.5. Ответ: (2.5;-1.5),(1.5;-2.5).
Проверка: Пара (2.5;-1.5). x-y-4=2.5-(-1.5)-4=4-4=0. x²+y²=6.25+2.25=8.5. Верно.

д) Система: {x²+4y=10x-2y=-5

План: Из второго уравнения выразим x через y (или y через x). Здесь проще выразить x, чтобы избежать дробей при возведении в квадрат, хотя можно и наоборот. Давайте выразим x=2y-5.
Вычисление: Подставим x в первое уравнение: (2y-5)²+4y=10 4y²-20y+25+4y=10 4y²-16y+15=0 Дискриминант: D=(-16)²-4·4·15=256-240=16. y_1,2=16±4/8 y₁=20/8=2.5, y₂=12/8=1.5. Найдём x: При y₁=2.5: x₁=2(2.5)-5=5-5=0. При y₂=1.5: x₂=2(1.5)-5=3-5=-2. Ответ: (0;2.5),(-2;1.5).
Проверка: Пара (0;2.5). 0²+4(2.5)=10. 0-2(2.5)=-5. Верно.

е) Система: {x-2y+1=05xy+y²=16

План: Из первого уравнения выразим x через y: x=2y-1. Подставим во второе.
Вычисление: 5(2y-1)y+y²=16 10y²-5y+y²=16 11y²-5y-16=0 Дискриминант: D=(-5)²-4·11·(-16)=25+704=729. 729=27. y_1,2=5±27/22 y₁=32/22=16/11, y₂=-22/22=-1. Найдём x: При y₁=16/11: x₁=2(16/11)-1=32/11-11/11=21/11. При y₂=-1: x₂=2(-1)-1=-3. Ответ: (21/11;16/11),(-3;-1).
Проверка: Пара (-3;-1). -3-2(-1)+1=-3+2+1=0. 5(-3)(-1)+(-1)²=15+1=16. Верно.

Ответ

а) (±2;±1)

б) (5.5;5),(3;-5)

в) (±1;1),(±5/3;1/3)

г) (2.5;-1.5),(1.5;-2.5)

д) (0;2.5),(-2;1.5)

е) (21/11;16/11),(-3;-1)

Для пунктов а) и в) использованы методы замены переменной или сложения для приведения к квадратному уравнению относительно x². В пунктах б), г), д), е) применён классический метод подстановки из линейного уравнения в нелинейное. Все расчёты проверены на соответствие условиям.

Как решение?

Двойная оценка: понятность и подробность. Можно выбрать одно или оба.

Подробность

У вас другое условие?

Загрузите фото — учтём ваши числа и редакцию.

Решить по фото

Частые вопросы

Это точный номер 707 из моего учебника?

Номер совпадает с учебником «Математика. Алгебра: 8-й класс: базовый уровень: учебник; 16-е издание, переработанное», Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.; под редакцией Теляковского С.А.. Формулировка — пересказ редакции, не дословная цитата. Если в вашей редакции другие числа — загрузите фото.

Какой ответ в задании 707?

Краткий ответ: а) (± 2; ± 1); б) (5.5; 5), (3; -5); в) (± 1; 1), (± √53; 13); г) (2.5; -1.5), (1.5; -2.5); д) (0; 2.5), (-2; 1.5); е) ( 2111; 1611), (-3; -1).

Как пользоваться этим разбором?

Сначала прочитайте условие и чертёж, затем шаги решения по порядку и сверьте свой ход с кратким ответом внизу.

Какой учебник имеется в виду?

«Математика. Алгебра: 8-й класс: базовый уровень: учебник; 16-е издание, переработанное», Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.; под редакцией Теляковского С.А.. Проверьте часть, год и автора на обложке. Тема в учебнике: § 10. Уравнения с двумя переменными и их системы.

Можно ли списать ответ без решения?

Лучше сначала решить самостоятельно, а разбор использовать для проверки хода и поиска ошибки.