8 класс Уравнения с двумя переменными и их системы § 10. Уравнения с двумя переменными и их системы

ГДЗ по алгебре, 8 класс, Макарычев, номер 711: Уравнения с двумя переменными и их системы

Математика. Алгебра: 8-й класс: базовый уровень: учебник; 16-е издание, переработанное — Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.; под редакцией Теляковского С.А.

Дмитрий Орлов, методист по алгебре Шпаргача обновлено 11 сентября 2026

← 710 712 →

Условие

Решить систему уравнений

а) x-y=5, 1/x+1/y=1/6

б) x+y=6, 1/x-1/y=1/4

в) 3x+y=1, 1/x+1/y=-2,5

г) 1/y-1/x=1/3, x-2y=2.

Номер как в учебнике. Условие — полный пересказ редакции: те же пункты, числа и факты, не цитата из книги.

Пошаговое решение

План решения: Для каждой системы уравнений выразим одну переменную через другую из линейного уравнения. Затем подставим это выражение во второе уравнение (с дробями), приведём к общему знаменателю и решим полученное квадратное уравнение. Не забудем проверить область допустимых значений (ОДЗ): x≠0 и y≠0.

а) Система: {x-y=51/x+1/y=1/6

Из первого уравнения: x=y+5.
Подставляем во второе: 1/y+5+1/y=1/6.
Приводим левую часть к общему знаменателю: y+(y+5)/y(y+5)=1/6⇒2y+5/y²+5y=1/6.
Умножаем крест-накрест: 6(2y+5)=y²+5y⇒12y+30=y²+5y.
Переносим всё в одну сторону: y²-7y-30=0.
По теореме Виета корни: y₁=10, y₂=-3.
Находим x: если y=10, то x=15; если y=-3, то x=2.
Ответ: (15;10) и (2;-3).

б) Система: {x+y=61/x-1/y=1/4

Из первого уравнения: x=6-y.
Подставляем во второе: 1/6-y-1/y=1/4.
Общий знаменатель левой части: y-(6-y)/y(6-y)=2y-6/6y-y²=1/4.
Крест-накрест: 4(2y-6)=6y-y²⇒8y-24=6y-y².
Уравнение: y²+2y-24=0.
Корни: y₁=4, y₂=-6.
Находим x: если y=4, то x=2; если y=-6, то x=12.
Ответ: (2;4) и (12;-6).

в) Система: {3x+y=11/x+1/y=-2,5

Из первого уравнения: y=1-3x.
Подставляем во второе: 1/x+1/1-3x=-2,5.
Левая часть: 1-3x+x/x(1-3x)=1-2x/x-3x². Правая часть: -5/2.
Уравнение: 1-2x/x-3x²=-5/2⇒2(1-2x)=-5(x-3x²).
2-4x=-5x+15x²⇒15x²-x-2=0.
Дискриминант: D=1-4·15·(-2)=1+120=121. D=11.
x_1,2=1±11/30. x₁=12/30=2/5, x₂=-10/30=-1/3.
Находим y: при x=2/5, y=1-3(2/5)=1-6/5=-1/5. При x=-1/3, y=1-3(-1/3)=1+1=2.
Ответ: (2/5;-1/5) и (-1/3;2).

г) Система: {1/y-1/x=1/3x-2y=2

Из второго уравнения: x=2y+2.
Подставляем в первое: 1/y-1/2y+2=1/3.
Общий знаменатель: (2y+2)-y/y(2y+2)=y+2/2y²+2y=1/3.
Крест-накрест: 3(y+2)=2y²+2y⇒3y+6=2y²+2y.
Уравнение: 2y²-y-6=0.
Дискриминант: D=1-4·2·(-6)=1+48=49. D=7.
y_1,2=1±7/4. y₁=8/4=2, y₂=-6/4=-1,5.
Находим x: при y=2, x=2(2)+2=6. При y=-1,5, x=2(-1,5)+2=-3+2=-1.
Ответ: (6;2) и (-1;-1,5).

Проверка: Все найденные пары удовлетворяют ОДЗ (x,y≠0) и исходным системам. Например, для пункта а) пара (15;10): 15-10=5 верно, 1/15+1/10=2+3/30=5/30=1/6 верно.

Ответ

а) (15; 10), (2; -3)

б) (2; 4), (12; -6)

в) (2/5; -1/5), (-1/3; 2)

г) (6; 2), (-1; -1,5)

Решение выполнено методом подстановки. В каждом пункте сначала выражается одна переменная из линейного уравнения, затем подставляется в дробно-рациональное уравнение. Полученные квадратные уравнения решаются через дискриминант или теорему Виета. Ответы совпадают с ключом.

Как решение?

Двойная оценка: понятность и подробность. Можно выбрать одно или оба.

Подробность

У вас другое условие?

Загрузите фото — учтём ваши числа и редакцию.

Решить по фото

Частые вопросы

Это точный номер 711 из моего учебника?

Номер совпадает с учебником «Математика. Алгебра: 8-й класс: базовый уровень: учебник; 16-е издание, переработанное», Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.; под редакцией Теляковского С.А.. Формулировка — пересказ редакции, не дословная цитата. Если в вашей редакции другие числа — загрузите фото.

Какой ответ в задании 711?

Краткий ответ: а) (15; 10), (2; -3); б) (2; 4), (12; -6); в) ( 25; -15), ( -13; 2); г) (6; 2), (-1; -1,5).

Как пользоваться этим разбором?

Сначала прочитайте условие и чертёж, затем шаги решения по порядку и сверьте свой ход с кратким ответом внизу.

Какой учебник имеется в виду?

«Математика. Алгебра: 8-й класс: базовый уровень: учебник; 16-е издание, переработанное», Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.; под редакцией Теляковского С.А.. Проверьте часть, год и автора на обложке. Тема в учебнике: § 10. Уравнения с двумя переменными и их системы.

Можно ли списать ответ без решения?

Лучше сначала решить самостоятельно, а разбор использовать для проверки хода и поиска ошибки.