ГДЗ по алгебре, 8 класс, Макарычев, номер 715: Уравнения с двумя переменными и их системы

План решения:

Чтобы найти общие точки параболы и прямой, нужно решить систему уравнений. Если у системы ровно одно решение, то графики имеют одну общую точку. Это происходит, когда соответствующее квадратное уравнение имеет единственный корень (дискриминант равен нулю).

Вычисление:

Составим систему уравнений: {y=x²+1y=kx Подставим выражение для y из второго уравнения в первое: kx=x²+1 Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить стандартный вид квадратного уравнения относительно x: x²-kx+1=0 Для того чтобы парабола и прямая имели ровно одну общую точку, это квадратное уравнение должно иметь единственный корень. Это возможно тогда и только тогда, когда его дискриминант D равен нулю. Найдем коэффициенты: a=1, b=-k, c=1. Формула дискриминанта: D=b²-4ac Подставим значения: D=(-k)²-4·1·1=k²-4 Приравняем дискриминант к нулю: k²-4=0 Решим полученное уравнение: k²=4 k=±2 Таким образом, мы нашли два значения параметра: k₁=2 и k₂=-2.

Проверка:

Если k=2, уравнение принимает вид x²-2x+1=0, что равносильно (x-1)²=0. Корень x=1, точка пересечения (1;2). Одна общая точка. Если k=-2, уравнение принимает вид x²+2x+1=0, что равносильно (x+1)²=0. Корень x=-1, точка пересечения (-1;2). Одна общая точка. Ответ совпадает с ожидаемым результатом.