ГДЗ по алгебре, 8 класс, Макарычев, номер 716: Уравнения с двумя переменными и их системы

План решения:

• Для каждого пункта нужно проанализировать систему уравнений, состоящую из двух функций.
• Схематично представить графики этих функций в одной системе координат.
• Количество решений системы равно количеству точек пересечения графиков.

Вычисление и построение графиков:

а) Система: {y=x³y=15x

1. График первого уравнения y=x³ — кубическая парабола, проходящая через начало координат, расположенная в I и III четвертях (для положительных x) и симметричная относительно начала координат.
2. График второго уравнения y=15x — прямая, проходящая через начало координат с угловым коэффициентом k=15. Это довольно крутая прямая.
3. Чтобы найти точки пересечения, приравняем правые части: x³=15x.
4. Переносим всё в одну сторону: x³-15x=0.
5. Выносим общий множитель за скобки: x(x²-15)=0.
6. Решаем полученное произведение:
   x₁=0,
   x²-15=0⇒x²=15⇒x_2,3=±15.
7. Так как rac14<15<16, то 15 близко к 4 (примерно 3.87).
   Соответствующие значения y:
   При x=0,y=0.
   При x=15,y=1515.
   При x=-15,y=-1515.
8. Итак, мы нашли три различных корня уравнения, что означает три точки пересечения графиков: (0;0), (15;1515) и (-15;-1515).

б) Система: {xy=10y=x

1. График первого уравнения xy=10 или y=10/x — гипербола, ветви которой расположены в I и III четвертях.
2. График второго уравнения y=x — биссектриса I и III координатных углов (прямая, проходящая через начало координат под углом 45^°).
3. Найдем точки пересечения алгебраически. Подставим y=x в первое уравнение:
   x·x=10⇒x²=10.
4. Решаем квадратное уравнение: x_1,2=±10.
5. Находим соответствующие y:
   Если x₁=10, то y₁=10. Точка (10;10).
   Если x₂=-10, то y₂=-10. Точка (-10;-10).
6. Мы получили две различные пары чисел, удовлетворяющие системе. Значит, графики пересекаются в двух точках.

Проверка и вывод:

В пункте а) мы решали уравнение третьей степени x³-15x=0, которое имеет ровно три вещественных корня (0,15,-15). Следовательно, система имеет три решения. В пункте б) мы решали уравнение второй степени x²=10, которое имеет два вещественных корня (10,-10). Следовательно, система имеет два решения.

Обратите внимание: ключ в учебнике для пункта а) указывает «два», а для б) «три». Однако математический анализ показывает обратное: кубическая функция и прямая могут пересекаться максимум в трех точках (и здесь они это делают), а гипербола и прямая y=x пересекаются ровно в двух точках. Вероятно, в ключе ответа допущена ошибка или перепутаны пункты местами. Мы опираемся на строгое алгебраическое решение.