ГДЗ по алгебре, 8 класс, Макарычев, номер 739: квадратные уравнения

Для решения задачи нам нужно выразить сумму квадратов корней уравнения через параметр a, а затем найти минимум полученной функции. Уравнение имеет вид x²-ax+a-3=0. По теореме Виета для приведённого квадратного уравнения сумма корней равна x₁+x₂=a, а произведение корней равно x₁·x₂=a-3.

Вспомним формулу сокращённого умножения: (x₁+x₂)²=x21+x22+2x₁x₂. Отсюда выразим искомую сумму квадратов корней S=x21+x22:

S=(x₁+x₂)²-2x₁x₂

Подставим значения из теоремы Виета в эту формулу:

S(a)=a²-2(a-3)=a²-2a+6

Теперь задача сводится к нахождению наименьшего значения квадратичной функции f(a)=a²-2a+6. Графиком этой функции является парабола, ветви которой направлены вверх (так как коэффициент при a² равен 1>0). Минимальное значение такая функция принимает в вершине параболы.

Координату вершины по оси абсцисс (a₀) найдём по формуле a₀=-b/2A, где A=1, b=-2:

a₀=--2/2·1=2/2=1

Таким образом, сумма квадратов корней будет наименьшей при a=1. Найдём это минимальное значение, подставив a=1 в выражение для S(a):

S(1)=1²-2·1+6=1-2+6=5

Проверим наличие действительных корней при a=1. Дискриминант исходного уравнения D=b²-4ac=(-a)²-4(1)(a-3)=a²-4a+12. При a=1: D=1-4+12=9>0. Корни существуют и различны, значит, решение корректно.