ГДЗ по алгебре, 8 класс, Макарычев, номер 745
Математика. Алгебра: 8-й класс: базовый уровень: учебник; 16-е издание, переработанное — Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.; под редакцией Теляковского С.А.
Татьяна Белова, редактор алгебраических разборов Шпаргача обновлено 11 сентября 2026
Условие
Докажите, что при любом значении переменной значение выражения положительно
а) a2+4a+11
б) (x2-/2x+7)
в) m2-4m+51
г) (p2-/6p+18)
д) 2b2-8b+20
е) (2c2+3)/(c2+12c+40).
Номер как в учебнике. Условие — полный пересказ редакции: те же пункты, числа и факты, не цитата из книги.
Пошаговое решение
Для доказательства того, что значение выражения положительно при любом значении переменной, мы будем использовать метод выделения полного квадрата. Вспомним формулу: a2±2ab+b2=(a±b)2. Квадрат любого действительного числа неотрицателен, то есть (...)2≥0. Если после выделения квадрата в выражении останется положительное число, то всё выражение будет строго больше нуля.
а) a2+4a+11
- Выделим полный квадрат из первых двух слагаемых: a2+4a=(a+2)2-4.
- Подставим это в исходное выражение: (a+2)2-4+11=(a+2)2+7.
- Так как (a+2)2≥0, то (a+2)2+7≥7>0. Выражение всегда положительно.
б) x2-2x+7/19
- Рассмотрим числитель: x2-2x+7.
- Выделим полный квадрат: x2-2x=(x-1)2-1.
- Числитель принимает вид: (x-1)2-1+7=(x-1)2+6.
- Значение числителя всегда ≥6. Знаменатель равен 19, что является положительным числом.
- Дробь с положительным числителем и положительным знаменателем всегда положительна: (x-1)2+6/19>0.
в) m2-4m+51
- Выделим полный квадрат: m2-4m=(m-2)2-4.
- Подставим в выражение: (m-2)2-4+51=(m-2)2+47.
- Так как (m-2)2≥0, то сумма (m-2)2+47≥47>0. Выражение всегда положительно.
г) p2-6p+18/p2+1
- Анализируем числитель: p2-6p+18.
- Выделяем полный квадрат: p2-6p=(p-3)2-9.
- Числитель: (p-3)2-9+18=(p-3)2+9. Он всегда ≥9>0.
- Анализируем знаменатель: p2+1. Так как p2≥0, то p2+1≥1>0. Знаменатель никогда не обращается в ноль и всегда положителен.
- Отношение двух положительных величин положительно.
д) 2b2-8b+20
- Вынесем общий множитель 2 за скобки: 2(b2-4b+10).
- Внутри скобок выделим полный квадрат: b2-4b=(b-2)2-4.
- Скобка превращается в: (b-2)2-4+10=(b-2)2+6.
- Итоговое выражение: 2((b-2)2+6).
- Так как (b-2)2≥0, то скобка ≥6. Умножение на 2 дает результат ≥12>0.
е) 2c2+3/c2+12c+40
- Анализируем числитель: 2c2+3. Так как c2≥0, то 2c2≥0, следовательно, 2c2+3≥3>0. Числитель всегда положителен.
- Анализируем знаменатель: c2+12c+40.
- Выделим полный квадрат: c2+12c=(c+6)2-36.
- Знаменатель: (c+6)2-36+40=(c+6)2+4.
- Так как (c+6)2≥0, то знаменатель ≥4>0. Он никогда не равен нулю.
- Дробь с положительным числителем и положительным знаменателем всегда положительна.
Во всех пунктах а)-е) путем выделения полного квадрата показано, что значения выражений строго больше нуля.
Основной инструмент — выделение полного квадрата. Важно проверить знак свободного члена после преобразования и убедиться, что знаменатели дробей не обращаются в ноль и остаются положительными.
Как решение?
Двойная оценка: понятность и подробность. Можно выбрать одно или оба.
У вас другое условие?
Загрузите фото — учтём ваши числа и редакцию.
Частые вопросы
Это точный номер 745 из моего учебника?
Номер совпадает с учебником «Математика. Алгебра: 8-й класс: базовый уровень: учебник; 16-е издание, переработанное», Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.; под редакцией Теляковского С.А.. Формулировка — пересказ редакции, не дословная цитата. Если в вашей редакции другие числа — загрузите фото.
Какой ответ в задании 745?
Краткий ответ: Во всех пунктах а)-е) путем выделения полного квадрата показано, что значения выражений строго больше нуля.
Как пользоваться этим разбором?
Сначала прочитайте условие и чертёж, затем шаги решения по порядку и сверьте свой ход с кратким ответом внизу.
Какой учебник имеется в виду?
«Математика. Алгебра: 8-й класс: базовый уровень: учебник; 16-е издание, переработанное», Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.; под редакцией Теляковского С.А.. Проверьте часть, год и автора на обложке. Тема в учебнике: Дополнительные упражнения к главе III.
Можно ли списать ответ без решения?
Лучше сначала решить самостоятельно, а разбор использовать для проверки хода и поиска ошибки.