8 класс квадратные уравнения Дополнительные упражнения к главе III

ГДЗ по алгебре, 8 класс, Макарычев, номер 748: квадратные уравнения

Математика. Алгебра: 8-й класс: базовый уровень: учебник; 16-е издание, переработанное — Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.; под редакцией Теляковского С.А.

Татьяна Белова, методист по алгебре Шпаргача обновлено 8 сентября 2026

← 747 749 →

Условие

При каких значениях x верно равенство

а) (5x+3)²=5(x+3)

б) (3x+10)²=3(x+10)

в) (3x-8)²=3x²-8x

г) (4x+5)²=5x²+4x

д) (5x+3)²=5x+3

е) (5x+3)²=(3x+5)²

ж) (4x+5)²=4(x+5)²

з) (2x+10)²=4(x+5)²?

Номер как в учебнике. Условие — полный пересказ редакции: те же пункты, числа и факты, не цитата из книги.

Пошаговое решение

В этом задании нам нужно найти значения переменной x, при которых данные равенства становятся верными. Для каждого пункта мы будем раскрывать скобки по формулам сокращенного умножения, переносить все слагаемые в одну сторону и решать полученное квадратное уравнение.

а) (5x+3)²=5(x+3)

Раскроем левую часть: 25x²+30x+9.
Раскроем правую часть: 5x+15.
Приравняем и перенесем все в левую часть: 25x²+30x+9-5x-15=0⇒25x²+25x-6=0.
Найдем дискриминант: D=25²-4·25·(-6)=625+600=1225. D=35.
Корни: x₁=-25-35/50=-60/50=-1,2; x₂=-25+35/50=10/50=0,2.

б) (3x+10)²=3(x+10)

Левая часть: 9x²+60x+100. Правая часть: 3x+30.
Уравнение: 9x²+60x+100-3x-30=0⇒9x²+57x+70=0.
Дискриминант: D=57²-4·9·70=3249-2520=729. D=27.
Корни: x₁=-57-27/18=-84/18=-14/3=-42/3; x₂=-57+27/18=-30/18=-5/3=-12/3.

в) (3x-8)²=3x²-8x

Левая часть: 9x²-48x+64. Правая часть: 3x²-8x.
Уравнение: 9x²-48x+64-3x²+8x=0⇒6x²-40x+64=0.
Разделим на 2: 3x²-20x+32=0.
Дискриминант: D=(-20)²-4·3·32=400-384=16. D=4.
Корни: x₁=20-4/6=16/6=8/3=22/3; x₂=20+4/6=24/6=4.

г) (4x+5)²=5x²+4x

Левая часть: 16x²+40x+25. Правая часть: 5x²+4x.
Уравнение: 16x²+40x+25-5x²-4x=0⇒11x²+36x+25=0.
Дискриминант: D=36²-4·11·25=1296-1100=196. D=14.
Корни: x₁=-36-14/22=-50/22=-25/11=-23/11; x₂=-36+14/22=-22/22=-1.

д) (5x+3)²=5x+3

Заметим структуру A²=A, где A=5x+3. Это значит A(A-1)=0.
Или через раскрытие: 25x²+30x+9=5x+3⇒25x²+25x+6=0.
Дискриминант: D=25²-4·25·6=625-600=25. D=5.
Корни: x₁=-25-5/50=-30/50=-3/5; x₂=-25+5/50=-20/50=-2/5.

е) (5x+3)²=(3x+5)²

Переносим в одну сторону: (5x+3)²-(3x+5)²=0.
Применяем формулу разности квадратов: ((5x+3)-(3x+5))((5x+3)+(3x+5))=0.
(2x-2)(8x+8)=0.
Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю:
2x-2=0⇒x=1;
8x+8=0⇒x=-1.

ж) (4x+5)²=4(x+5)²

Левая часть: 16x²+40x+25. Правая часть: 4(x²+10x+25)=4x²+40x+100.
Уравнение: 16x²+40x+25-4x²-40x-100=0⇒12x²-75=0.
12x²=75⇒x²=75/12=25/4.
x=±25/4=±5/2=±2,5.

з) (2x+10)²=4(x+5)²

Вынесем общий множитель в левой части: (2(x+5))²=2²·(x+5)²=4(x+5)².
Получаем тождество: 4(x+5)²=4(x+5)².
Равенство верно для любого значения x.

Ответ

а) -1,2; 0,2

б) -42/3; -12/3

в) 22/3; 4

г) -23/11; -1

д) -3/5; -2/5

е) -1; 1

ж) -2,5; 2,5

з) при любом x

Все пункты решены стандартным методом приведения к квадратному уравнению или использованием свойств степеней. В пункте з) важно заметить, что левая часть является полным квадратом выражения, которое после возведения в степень дает точную копию правой части, что делает уравнение тождественным.

Как решение?

Двойная оценка: понятность и подробность. Можно выбрать одно или оба.

Подробность

У вас другое условие?

Загрузите фото — учтём ваши числа и редакцию.

Решить по фото

Частые вопросы

Это точный номер 748 из моего учебника?

Номер совпадает с учебником «Математика. Алгебра: 8-й класс: базовый уровень: учебник; 16-е издание, переработанное», Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.; под редакцией Теляковского С.А.. Формулировка — пересказ редакции, не дословная цитата. Если в вашей редакции другие числа — загрузите фото.

Какой ответ в задании 748?

Краткий ответ: а) -1,2; 0,2; б) -4 23; -1 23; в) 2 23; 4; г) -2 311; -1; д) -35; -25; е) -1; 1; ж) -2,5; 2,5; з) при любом x.

Как пользоваться этим разбором?

Сначала прочитайте условие и чертёж, затем шаги решения по порядку и сверьте свой ход с кратким ответом внизу.

Какой учебник имеется в виду?

«Математика. Алгебра: 8-й класс: базовый уровень: учебник; 16-е издание, переработанное», Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.; под редакцией Теляковского С.А.. Проверьте часть, год и автора на обложке. Тема в учебнике: Дополнительные упражнения к главе III.

Можно ли списать ответ без решения?

Лучше сначала решить самостоятельно, а разбор использовать для проверки хода и поиска ошибки.