ГДЗ по алгебре, 8 класс, Макарычев, номер 767: квадратные уравнения

План решения.

Чтобы доказать, что квадратное уравнение не имеет положительных корней, проанализируем знаки его коэффициентов. Воспользуемся теоремой Виета или свойством знаков корней квадратного уравнения ax²+bx+c=0. Если старший коэффициент a>0 и свободный член c>0, то произведение корней положительно. Если при этом сумма корней отрицательна (так как -b/a<0 при b>0), то оба корня должны быть отрицательными. Нам нужно проверить знаки всех коэффициентов данного уравнения относительно параметра a.

Вычисление и анализ.

Дано уравнение: 12x²+70x+a²+1=0

Определим коэффициенты:

• A=12;
• B=70;
• C=a²+1.

Проверим знак свободного члена C. Так как для любого действительного числа a выполняется неравенство a²≥0, то a²+1≥1>0. Следовательно, коэффициент C всегда строго положителен.

Теперь применим теорему Виета. Пусть x₁ и x₂ — корни уравнения. Тогда:

1. Произведение корней: x₁x₂=C/A=a²+1/12. Поскольку числитель положителен и знаменатель положителен, то x₁x₂>0. Это означает, что корни имеют одинаковые знаки (оба положительны или оба отрицательны).
2. Сумма корней: x₁+x₂=-B/A=-70/12. Очевидно, что -70/12<0. Сумма двух чисел одного знака может быть отрицательной только в том случае, если эти числа отрицательны.

Таким образом, если корни существуют, они оба отрицательны.

Проверка через дискриминант (дополнительно).

Даже если бы мы сомневались в существовании корней, утверждение «уравнение не имеет положительных корней» верно и в случае отсутствия корней вообще. Однако давайте убедимся в логике знаков. Уравнение вида Ax²+Bx+C=0 с A>0,B>0,C>0 не может иметь положительных корней, так как при подстановке любого x>0 значение левой части будет строго больше нуля (12x²>0, 70x>0, a²+1>0), и равенство нулю невозможно.

Итак, при любом x>0 выражение 12x²+70x+a²+1 является суммой трех положительных слагаемых, поэтому оно не может равняться нулю. Следовательно, положительных корней нет.