ГДЗ по алгебре, 8 класс, Макарычев, номер 774: квадратные уравнения

Для решения этой задачи воспользуемся теоремой Виета и определением корня уравнения. Нам дано квадратное уравнение 4x²+bx+c=0. Известно, что один из корней равен 0,5, а второй корень равен свободному члену c. Обозначим корни как x₁ и x₂. Тогда по условию: x₁=0,5 и x₂=c.

Согласно теореме Виета для уравнения вида ax²+bx+c=0, произведение корней равно отношению свободного члена к старшему коэффициенту: x₁·x₂=c/a Подставим известные нам значения (a=4, x₁=0,5, x₂=c): 0,5·c=c/4 Умножим обе части уравнения на 4, чтобы избавиться от знаменателя: 2c=c Перенесем все слагаемые с c в одну сторону: 2c-c=0 c=0 Таким образом, мы нашли значение коэффициента c.

Теперь найдем коэффициент b. Для этого используем второе соотношение теоремы Виета (сумма корней) или просто подставим найденные значения в исходное уравнение. По теореме Виета сумма корней равна: x₁+x₂=-b/a Так как мы выяснили, что c=0, то и второй корень x₂=c=0. Первый корень x₁=0,5. Подставим эти значения и a=4: 0,5+0=-b/4 0,5=-b/4 Умножим обе части на -4: b=0,5·(-4) b=-2

Проверка. Если b=-2 и c=0, то уравнение принимает вид 4x²-2x=0. Решим его: вынесем общий множитель 2x за скобки: 2x(2x-1)=0 Отсюда получаем два корня: 2x=0⇒x₁=0 и 2x-1=0⇒2x=1⇒x₂=0,5. Один из корней равен 0,5 (совпадает с условием), другой корень равен 0. Свободный член c также равен 0. Значит, второй корень действительно равен значению свободного члена. Все условия выполнены.