ГДЗ по алгебре, 8 класс, Макарычев, номер 775: система уравнений

План решения:

По условию задачи числа b и c являются корнями квадратного уравнения x²+bx+c=0. Для нахождения коэффициентов воспользуемся теоремой Виета, которая связывает корни уравнения с его коэффициентами. Также учтём ограничение c≠0.

Вычисление:

Согласно теореме Виета для приведённого квадратного уравнения x²+px+q=0, сумма корней равна второму коэффициенту со знаком минус (x₁+x₂=-p), а произведение корней равно свободному члену (x₁·x₂=q).

В нашем случае уравнение имеет вид x²+bx+c=0, где первый коэффициент при x равен b, а свободный член равен c. Корни уравнения — это b и c.

Запишем систему уравнений на основе теоремы Виета:

1. Сумма корней: b+c=-b
2. Произведение корней: b·c=c

Рассмотрим второе уравнение системы: bc=c.

Перенесём всё в одну сторону: bc-c=0.

Вынесем общий множитель c за скобки: c(b-1)=0.

Так как по условию задачи c≠0, то нулю должен быть равен второй множитель:

Теперь подставим найденное значение b=1 в первое уравнение системы (b+c=-b):

Проверка:

Подставим найденные значения b=1 и c=-2 в исходное уравнение x²+bx+c=0:

Найдём корни этого уравнения. По теореме Виета или через дискриминант:

Дискриминант D=1²-4·1·(-2)=1+8=9.

Корни: x₁=-1-3/2=-2 и x₂=-1+3/2=1.

Действительно, корни уравнения равны -2 и 1, что совпадает с нашими значениями c=-2 и b=1. Условие c≠0 выполнено (-2≠0).