ГДЗ по алгебре, 8 класс, Макарычев, номер 779: квадратные уравнения

Для решения этой задачи воспользуемся теоремой Виета. Нам дано квадратное уравнение 3x²+2x+k=0, где старший коэффициент a=3, второй коэффициент b=2 и свободный член c=k. Также известно соотношение между корнями: 2x₁=-3x₂.

Согласно теореме Виета, сумма корней равна -b/a, а произведение — c/a. Запишем эти равенства для нашего уравнения:

• x₁+x₂=-2/3
• x₁·x₂=k/3

Из условия задачи выразим один корень через другой. Из равенства 2x₁=-3x₂ следует, что x₁=-3/2x₂. Подставим это выражение в формулу суммы корней:

-3/2x₂+x₂=-2/3

Приведем подобные слагаемые в левой части (-3/2+1=-1/2):

-1/2x₂=-2/3

Отсюда находим значение второго корня:

x₂=(-2/3)·(-2)=4/3

Теперь найдем первый корень, подставив найденное значение x₂ обратно в выражение x₁=-3/2x₂:

x₁=-3/2·4/3=-2

Мы нашли оба корня: x₁=-2 и x₂=4/3. Осталось найти параметр k, используя формулу произведения корней x₁·x₂=k/3:

-2·4/3=k/3

-8/3=k/3

Умножив обе части на 3, получаем ответ: k=-8.

Проверка:

Подставим k=-8 в исходное уравнение: 3x²+2x-8=0. Найдем дискриминант: D=2²-4·3·(-8)=4+96=100. Корни: x_1,2=-2±10/6. Тогда x₁=8/6=4/3 (или наоборот, порядок не важен), а x₂=-12/6=-2. Проверим условие связи: 2·(-2)=-4 и -3·4/3=-4. Равенство выполняется. Ответ верен.