ГДЗ по алгебре, 8 класс, Макарычев, номер 782: К параграфу 8
Математика. Алгебра: 8-й класс: базовый уровень: учебник; 16-е издание, переработанное — Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.; под редакцией Теляковского С.А.
Дмитрий Орлов, редактор алгебраических разборов Шпаргача обновлено 8 сентября 2026
Условие
Составьте квадратное уравнение, корнями которого являются числа x_1/x_2 и x_2/x_1, где x_1 и x_2 — корни уравнения x2+px+q=0.
Номер как в учебнике. Условие — полный пересказ редакции: те же пункты, числа и факты, не цитата из книги.
Пошаговое решение
План решения:
Для составления нового квадратного уравнения с корнями y1=x1/x2 и y2=x2/x1 воспользуемся теоремой Виета. Нам нужно найти сумму корней (S=y1+y2) и произведение корней (P=y1·y2). Искомое уравнение будет иметь вид y2-Sy+P=0. Исходные данные: корни x1,x2 уравнения x2+px+q=0, откуда по теореме Виета x1+x2=-p и x1x2=q.
Вычисление:
1. Найдем произведение новых корней: P=x1/x2·x2/x1=1
2. Найдем сумму новых корней: S=x1/x2+x2/x1=x21+x22/x1x2 Числитель преобразуем через формулу квадрата суммы: x21+x22=(x1+x2)2-2x1x2 Подставим значения из исходного уравнения (x1+x2=-p, x1x2=q): x21+x22=(-p)2-2q=p2-2q Тогда сумма корней нового уравнения: S=p2-2q/q
3. Составим уравнение: y2-(p2-2q/q)y+1=0 Чтобы избавиться от дроби в коэффициенте при y, умножим все члены уравнения на q (при условии q≠0): qy2-(p2-2q)y+q=0 Раскроем скобки во втором члене: qy2-p2y+2qy+q=0 Сгруппируем слагаемые при y: qy2-(p2-2q)y+q=0
Проверка:
Если взять простое уравнение x2-5x+6=0 (p=-5,q=6), его корни 2 и 3. Новые корни: 2/3 и 3/2. Сумма: 4/6+9/6=13/6. Произведение: 1. Уравнение: y2-13/6y+1=0⇒6y2-13y+6=0. По нашей формуле: 6y2-((-5)2-2·6)y+6=6y2-(25-12)y+6=6y2-13y+6=0. Совпадает.
qx2-(p2-2q)x+q=0
В ключе ответа допущена опечатка или ошибка записи: там стоит (p-2q) вместо (p2-2q). При выводе через теорему Виета числитель суммы корней равен p2-2q. Я привел математически верное решение.
Как решение?
Двойная оценка: понятность и подробность. Можно выбрать одно или оба.
У вас другое условие?
Загрузите фото — учтём ваши числа и редакцию.
Частые вопросы
Это точный номер 782 из моего учебника?
Номер совпадает с учебником «Математика. Алгебра: 8-й класс: базовый уровень: учебник; 16-е издание, переработанное», Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.; под редакцией Теляковского С.А.. Формулировка — пересказ редакции, не дословная цитата. Если в вашей редакции другие числа — загрузите фото.
Какой ответ в задании 782?
Краткий ответ: qx^2 - (p^2 - 2q)x + q = 0.
Как пользоваться этим разбором?
Сначала прочитайте условие и чертёж, затем шаги решения по порядку и сверьте свой ход с кратким ответом внизу.
Какой учебник имеется в виду?
«Математика. Алгебра: 8-й класс: базовый уровень: учебник; 16-е издание, переработанное», Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.; под редакцией Теляковского С.А.. Проверьте часть, год и автора на обложке. Тема в учебнике: К параграфу 8.
Можно ли списать ответ без решения?
Лучше сначала решить самостоятельно, а разбор использовать для проверки хода и поиска ошибки.