ГДЗ по алгебре, 8 класс, Макарычев, номер 781: К параграфу 8

План решения:

Для составления нового квадратного уравнения воспользуемся теоремой Виета. Если корни исходного уравнения x²+px+q=0 равны x₁ и x₂, то по теореме Виета: x₁+x₂=-p и x₁·x₂=q. Нам нужно найти сумму и произведение новых корней для каждого пункта, а затем записать уравнение вида x²-Sx+P=0, где S — сумма корней, P — их произведение.

а) Корни в 3 раза больше и в 2 раза меньше

Пусть новые корни равны y₁=3x₁ и y₂=x₂/2 (или наоборот, порядок не важен для симметричных выражений).

Найдем сумму новых корней S_a:

Здесь возникает проблема: сумма 3x₁+0.5x₂ не выражается линейно через x₁+x₂=-p без знания конкретных значений корней или соотношения между ними. Обычно в таких задачах подразумевается, что каждый корень преобразуется одинаково, либо речь идет о паре корней одного типа. Однако формулировка «корни которого: ... в 3 раза больше и в 2 раза меньше» часто трактуется как: один новый корень равен утроенному старому, а другой — половинному от другого старого. Но тогда ответ будет зависеть от того, какой именно корень (x₁ или x₂) мы берем для умножения на 3, а какой для деления на 2. Поскольку x₁ и x₂ симметричны в исходном уравнении, но коэффициенты при них разные (3 и 1/2), результат не будет симметричным относительно p и q в общем виде, если не заданы дополнительные условия.

Давайте проверим альтернативную интерпретацию, которая часто встречается в учебниках: возможно, имеется в виду, что оба новых корня получены из старых каким-то образом? Нет, условие четкое: «в 3 раза больше [одного] и в 2 раза меньше [другого]».

Рассмотрим вариант, когда ключ к задаче предполагает ошибку в условии или специфическую трактовку. Давайте попробуем вывести ответ, указанный в ключе: x²+3px+9q=0. Это уравнение имеет корни, сумма которых -3p, а произведение 9q.

Если сумма новых корней -3p, а сумма старых -p, то это соответствует случаю, когда оба корня умножены на 3 (3x₁+3x₂=3(x₁+x₂)=-3p). Произведение (3x₁)(3x₂)=9x₁x₂=9q. То есть ключ x²+3px+9q=0 соответствует условию «корни в 3 раза больше обоих корней исходного уравнения».

Однако в условии сказано: «в 3 раза больше и в 2 раза меньше». Это противоречие с ключом. Возможно, в условии опечатка, и имелось в виду «в 3 раза больше» для обоих? Или «в 2 раза меньше» для обоих?

Давайте посмотрим на пункт б) и его ключ: x²+(p-4)x+(q-2p+4)=0.

Сумма корней этого уравнения: -(p-4)=4-p. Старая сумма: -p. Разница: 4. Это соответствует случаю, когда каждый корень увеличен на 2 (x₁+2+x₂+2=x₁+x₂+4=-p+4).

Произведение корней: (x₁+2)(x₂+2)=x₁x₂+2(x₁+x₂)+4=q+2(-p)+4=q-2p+4. Это точно совпадает с свободным членом в ключе.

Таким образом, ключ для пункта б) соответствует условию «на 2 больше обоих корней». А ключ для пункта а) соответствует условию «в 3 раза больше обоих корней».

Вывод: В тексте задачи, вероятно, допущена неточность формулировки, объединяющая два разных случая в одно предложение, либо подразумевается, что нужно составить два отдельных уравнения? Нет, обычно просят одно. Учитывая, что ключи соответствуют однородным преобразованиям (все корни умножаются на 3; все корни прибавляются к 2), будем решать задачу исходя из логики ключей, предполагая, что в условии а) речь шла об умножении каждого корня на 3, а в условии б) — о прибавлении 2 к каждому корню. Фраза «и в 2 раза меньше» в пункте а) и «на 2 меньше» в пункте б) может быть лишней или относиться к другому варианту ответа, который не представлен в ключе. Но так как инструкция требует следовать ключу как ориентир, а числа в условии дают противоречие с ключом при буквальном прочтении («один больше, другой меньше»), я приведу решение для случаев, соответствующих ключам, отметив расхождение.

Примечание: Если строго следовать тексту «в 3 раза больше и в 2 раза меньше», то ответ не будет иметь вида из ключа. Так как ключ является ориентиром, а стандартные школьные задачи такого типа чаще всего подразумевают однородное преобразование всех корней, решим для однородных случаев, соответствующих ключу.

Решение пункта а) (согласно логике ключа: оба корня в 3 раза больше):

Пусть новые корни y₁=3x₁ и y₂=3x₂.

Сумма новых корней:

Произведение новых корней:

Квадратное уравнение с такими корнями имеет вид x²-(y₁+y₂)x+y₁y₂=0:

б) Корни на 2 больше и на 2 меньше

Аналогично пункту а), ключ x²+(p-4)x+(q-2p+4)=0 соответствует случаю, когда оба корня увеличены на 2. Если бы один был больше, а другой меньше, сумма была бы x₁+2+x₂-2=x₁+x₂=-p, а произведение (x₁+2)(x₂-2)=x₁x₂-2x₁+2x₂-4, что не выражается только через p и q однозначно без разделения на случаи. Поэтому решаем для случая «оба корня на 2 больше».

Пусть новые корни z₁=x₁+2 и z₂=x₂+2.

Сумма новых корней:

Произведение новых корней:

Подставляем значения из теоремы Виета (x₁x₂=q,x₁+x₂=-p):

Записываем уравнение x²-(z₁+z₂)x+z₁z₂=0:

Проверка:

Для пункта а): Если исходное уравнение x²-x=0 (p=-1,q=0), корни 0,1. Новые корни 0,3. Уравнение x(x-3)=x²-3x=0. По формуле: x²+3(-1)x+0=x²-3x=0. Совпадает.

Для пункта б): Исходное x²-x=0, корни 0,1. Новые корни 2,3. Уравнение (x-2)(x-3)=x²-5x+6=0. По формуле: x²+(-1-4)x+(0-2(-1)+4)=x²-5x+(2+4)=x²-5x+6=0. Совпадает.