ГДЗ по алгебре, 8 класс, Макарычев, номер 787: К параграфу 8

План решения:

Для квадратного трёхчлена вида x²+px+q воспользуемся теоремой Виета. Согласно ей, сумма корней равна второму коэффициенту с противоположным знаком, а произведение — свободному члену. Нам дано условие, что сумма корней равна p, а произведение равно q. Составим систему уравнений для нахождения значений p и q, учитывая, что корни не равны нулю.

Вычисление:

Пусть x₁ и x₂ — корни данного трёхчлена. По условию задачи:

• x₁+x₂=p
• x₁·x₂=q

По теореме Виета для уравнения x²+px+q=0 имеем:

• x₁+x₂=-p
• x₁·x₂=q

Приравняем выражения для суммы корней из условия и из теоремы Виета:

Теперь подставим найденное значение p=0 в исходный трёхчлен. Он примет вид x²+q. Корни этого уравнения находятся из условия x²=-q, то есть x_1,2=±-q (при условии, что -q>0, так как корни действительные и не равны нулю).

Произведение корней по теореме Виета равно q. Проверим это на полученных корнях:

Это равенство выполняется тождественно для любого допустимого q. Однако в условии сказано, что произведение корней равно q . Мы уже использовали это свойство. Нужно ли находить конкретное числовое значение q?

Давайте внимательно перечитаем условие: «сумма и произведение корней равны соответственно p и q». Мы нашли, что p=0. Что касается q: произведение корней равно q. Это всегда верно по теореме Виета для любого q. Но есть ограничение: корни не равны нулю. Значит, q≠0 (так как если бы q=0, то один из корней был бы равен 0). Таким образом, p строго равно 0, а q может быть любым ненулевым числом? Нет, давайте проверим логику ещё раз. Сумма корней S=-p. По условию S=p. Следовательно, -p=p⇒p=0. Произведение корней P=q. По условию P=q. Это равенство q=q является тождеством и не даёт конкретного значения для q, кроме ограничения q≠0. Однако обычно в таких задачах подразумевается единственное решение или специфический набор коэффициентов. Если p=0, то трёхчлен имеет вид x²+q. Его корни ±-q. Сумма корней 0, что равно p. Произведение корней -(-q)=q, что равно q. Условие выполнено для любого q≠0. Но часто в школьных задачах такого типа ответом является конкретный многочлен, если есть дополнительные скрытые ограничения или если подразумевается, что p и q — конкретные числа, удовлетворяющие системе. Здесь система сводится к p=0 и q∈R,q≠0. Возможно, я упускаю что-то? Давайте посмотрим на формулировку «Найдите трёхчлен». Обычно это означает найти конкретные коэффициенты. Если q не определяется однозначно, то ответом будет семейство трёхчленов. Однако, давайте предположим стандартную интерпретацию: мы нашли p=0. А что с q? В условии нет других ограничений на q, кроме того, что корни не нулевые (q≠0). Если задача предполагает единственный ответ, возможно, имеется в виду тривиальный случай или ошибка в трактовке. Но математически корректный вывод: p=0, q — любое ненулевое число. Часто в подобных задачах из сборников (например, Мордковича) ответ записывается как x²+q, где q≠0. Или же, если подразумевается целочисленность или другие свойства, они должны быть указаны. Без них q остаётся параметром. Проверим частный случай: пусть q=1. Трёхчлен x²+1. Корни мнимые. В курсе алгебры 8 класса обычно рассматриваются действительные корни. Если требуются действительные корни, то дискриминант D=p²-4q=-4q должен быть неотрицательным. То есть -4q≥0⇒q≤0. Так как q≠0, то q<0. Итак, при условии существования действительных корней: p=0, q<0. Ответ: x²+q, где q<0 (или просто q≠0, если комплексные числа допускаются, но в 8 классе обычно нет). Запишем общий вид.

Проверка:

Рассмотрим трёхчлен x²+q при q<0 (для наличия действительных корней). Корни: x₁=-q,x₂=--q. Сумма корней: x₁+x₂=0. Коэффициент p в выражении x²+px+q равен 0. Условие «сумма корней равна p» выполнено (0=0). Произведение корней: x₁·x₂=-(-q)=q. Условие «произведение корней равно q» выполнено. Корни не равны нулю, так как q≠0. Все условия соблюдены.