8 класс Сумма и разность дробей § 2. Сумма и разность дробей

ГДЗ по алгебре, 8 класс, Макарычев, номер 78: Сумма и разность дробей

Математика. Алгебра: 8-й класс: базовый уровень: учебник; 16-е издание, переработанное — Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.; под редакцией Теляковского С.А.

Ольга Кузнецова, методист по алгебре Шпаргача обновлено 8 сентября 2026

← 77 79 →

Условие

Выполните действие

а) b/a²-1/a

б) (1-x)/x³+1/x²

в) 1/(2a⁷) + (4-2a^3)/a¹⁰

г) (a+b)/a² + (a-b)/ab

д) (2a-3b)/a^2b-(4a-5b)/ab²

е) (x-2y)/xy²-(2y-x)/x^2y.

Номер как в учебнике. Условие — полный пересказ редакции: те же пункты, числа и факты, не цитата из книги.

Пошаговое решение

Для выполнения действий с алгебраическими дробями необходимо привести их к общему знаменателю. Общий знаменатель находится как наименьшее общее кратное (НОК) знаменателей исходных дробей. После приведения к общему знаменателю складываем или вычитаем числители и по возможности упрощаем полученную дробь.

а) b/a²-1/a
Общий знаменатель: a². Дополнительный множитель для второй дроби равен a.
b/a²-1·a/a·a=b-a/a²

б) 1-x/x³+1/x²
Общий знаменатель: x³. Дополнительный множитель для второй дроби равен x.
1-x/x³+1·x/x²·x=1-x+x/x³=1/x³

в) 1/2a⁷+4-2a³/a¹⁰
Заметим, что во втором числителе можно вынести общий множитель 2: 4-2a³=2(2-a³). Тогда вторая дробь примет вид 2(2-a³)/a¹⁰. Сократим эту дробь на 2? Нет, сокращать нельзя, так как 2 стоит в произведении только в числителе, а в знаменателе его нет. Но мы можем упростить запись перед сложением.
Общий знаменатель для 2a⁷ и a¹⁰ равен 2a¹⁰.
Первая дробь: умножаем числитель и знаменатель на a³: 1·a³/2a⁷·a³=a³/2a¹⁰.
Вторая дробь: умножаем числитель и знаменатель на 2: (4-2a³)·2/a¹⁰·2=8-4a³/2a¹⁰.
Складываем:
a³+8-4a³/2a¹⁰=8-3a³/2a¹⁰

г) a+b/a²+a-b/ab
Общий знаменатель: a^2b.
Первая дробь: дополнительный множитель b. Числитель: (a+b)b=ab+b².
Вторая дробь: дополнительный множитель a. Числитель: (a-b)a=a²-ab.
Складываем:
ab+b²+a²-ab/a^2b=a²+b²/a^2b

д) 2a-3b/a^2b-4a-5b/ab²
Общий знаменатель: a^2b².
Первая дробь: дополнительный множитель b. Числитель: (2a-3b)b=2ab-3b².
Вторая дробь: дополнительный множитель a. Числитель: (4a-5b)a=4a²-5ab.
Вычитаем:
(2ab-3b²)-(4a²-5ab)/a^2b²=2ab-3b²-4a²+5ab/a^2b²=-4a²+7ab-3b²/a^2b²
Можно вынести минус из числителя: -4a²-7ab+3b²/a^2b².
Проверка ключа: В ключе дано 4a²-3ab-3b²/a^2b². Давайте перепроверим знаки.
2ab-(-5ab)=7ab. Ключ содержит -3ab. Возможно, в условии опечатка или я неверно прочитал знак? Условие: минус между дробями.
(2a-3b)/a^2b-(4a-5b)/ab².
Числитель: b(2a-3b)-a(4a-5b)=2ab-3b²-4a²+5ab=-4a²+7ab-3b².
Результат не совпадает с ключом. Однако, если бы второе слагаемое было (4a+5b), то 2ab-3b²-4a²-5ab=-4a²-3ab-3b². Если бы первое было (2a+3b), то 2ab+3b²...
Если предположить ошибку в знаке перед 5b в условии учебника (было бы 4a+5b), то результат был бы другим. Но строго по тексту условия ответ: -4a²+7ab-3b²/a^2b².

е) x-2y/xy²-2y-x/x^2y
Заметим, что 2y-x=-(x-2y). Тогда выражение можно переписать как сумму:
x-2y/xy²+x-2y/x^2y
Общий знаменатель: x^2y².
Первая дробь: дополнительный множитель x. Числитель: x(x-2y)=x²-2xy.
Вторая дробь: дополнительный множитель y. Числитель: y(x-2y)=xy-2y².
Складываем:
x²-2xy+xy-2y²/x^2y²=x²-xy-2y²/x^2y²
Этот результат совпадает с ключом.

Ответ

а) b-a/a²

б) 1/x³

в) 8-3a³/2a¹⁰

г) a²+b²/a^2b

д) -4a²+7ab-3b²/a^2b²

е) x²-xy-2y²/x^2y²

В пункте д) полученный ответ отличается от предложенного в ключе (4a²-3ab-3b²/a^2b²). Строгое вычисление по условию дает -4a²+7ab-3b² в числителе. Расхождение может быть вызвано опечаткой в знаках в условии задачи или в самом ключе ответов. Решение приведено строго согласно математическим правилам.

Как решение?

Двойная оценка: понятность и подробность. Можно выбрать одно или оба.

Подробность

У вас другое условие?

Загрузите фото — учтём ваши числа и редакцию.

Решить по фото

Частые вопросы

Это точный номер 78 из моего учебника?

Номер совпадает с учебником «Математика. Алгебра: 8-й класс: базовый уровень: учебник; 16-е издание, переработанное», Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.; под редакцией Теляковского С.А.. Формулировка — пересказ редакции, не дословная цитата. Если в вашей редакции другие числа — загрузите фото.

Какой ответ в задании 78?

Краткий ответ: а) b-aa^2; б) 1x^3; в) 8-3a^32a^10; г) a^2+b^2a^2b; д) -4a^2+7ab-3b^2a^2b^2; е) x^2-xy-2y^2x^2y^2.

Как пользоваться этим разбором?

Сначала прочитайте условие и чертёж, затем шаги решения по порядку и сверьте свой ход с кратким ответом внизу.

Какой учебник имеется в виду?

«Математика. Алгебра: 8-й класс: базовый уровень: учебник; 16-е издание, переработанное», Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.; под редакцией Теляковского С.А.. Проверьте часть, год и автора на обложке. Тема в учебнике: § 2. Сумма и разность дробей.

Можно ли списать ответ без решения?

Лучше сначала решить самостоятельно, а разбор использовать для проверки хода и поиска ошибки.