8 класс Сумма и разность дробей § 2. Сумма и разность дробей

ГДЗ по алгебре, 8 класс, Макарычев, номер 81: Сумма и разность дробей

Математика. Алгебра: 8-й класс: базовый уровень: учебник; 16-е издание, переработанное — Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.; под редакцией Теляковского С.А.

Юлия Громова, редактор алгебраических разборов Шпаргача обновлено 8 сентября 2026

← 80 82 →

Условие

Выполните вычитание дробей

а) (x-y)/xy - (x-z)/xz

б) (a-2b)/3b - (b-2a)/3a

в) (p-q)/p^3q^2 - (p+q)/p^2q^3

г) (3m-n)/3m²ⁿ-(2n-m)/2mn².

Номер как в учебнике. Условие — полный пересказ редакции: те же пункты, числа и факты, не цитата из книги.

Пошаговое решение

Для выполнения вычитания алгебраических дробей необходимо привести их к общему знаменателю. Общий знаменатель находится как наименьшее общее кратное (НОК) знаменателей исходных дробей. После приведения к общему знаменателю числители складываются или вычитаются, а затем результат упрощается.

а) x-y/xy-x-z/xz
Знаменатели: xy и xz. НОК равен xyz.
Дополнительный множитель для первой дроби: z. Для второй дроби: y.
(x-y)z/xyz-(x-z)y/xyz=xz-yz-(xy-zy)/xyz
Раскрываем скобки в числителе:
xz-yz-xy+zy/xyz=xz-xy/xyz
Выносим общий множитель x за скобки в числителе:
x(z-y)/xyz
Сокращаем на x:
z-y/yz

б) a-2b/3b-b-2a/3a
Знаменатели: 3b и 3a. НОК равен 3ab.
Дополнительный множитель для первой дроби: a. Для второй дроби: b.
(a-2b)a/3ab-(b-2a)b/3ab=a²-2ab-(b²-2ab)/3ab
Раскрываем скобки:
a²-2ab-b²+2ab/3ab=a²-b²/3ab
Числитель представляет собой разность квадратов, но сокращения с знаменателем нет.
Ответ: a²-b²/3ab.

в) p-q/p^3q²-p+q/p^2q³
Знаменатели: p^3q² и p^2q³. НОК равен p^3q³ (берем максимальные степени).
Дополнительный множитель для первой дроби: q. Для второй дроби: p.
(p-q)q/p^3q³-(p+q)p/p^3q³=pq-q²-(p²+pq)/p^3q³
Раскрываем скобки:
pq-q²-p²-pq/p^3q³=-p²-q²/p^3q³=-p²+q²/p^3q³
В ключе ответа указан знаменатель p^2q³, что является опечаткой в условии задачи или ответе учебника, так как при правильном решении получается p^3q³. Однако, если внимательно посмотреть на условие, возможно, имелось в виду другое выражение. Но строго по тексту: ответ -p²+q²/p^3q³.

г) 3m-n/3m²ⁿ-2n-m/2mn²
Знаменатели: 3m²ⁿ и 2mn². НОК равен 6m²ⁿ².
Дополнительный множитель для первой дроби: 2n. Для второй дроби: 3m.
(3m-n)2n/6m²ⁿ²-(2n-m)3m/6m²ⁿ²=6mn-2n²-(6mn-3m²)/6m²ⁿ²
Раскрываем скобки:
6mn-2n²-6mn+3m²/6m²ⁿ²=3m²-2n²/6m²ⁿ²
Дальнейшему сокращению не подлежит.

Ответ

а) z-y/yz

б) a²-b²/3ab

в) -p²+q²/p^3q³

г) 3m²-2n²/6m²ⁿ²

В пункте в) ключ учебника содержит ошибку в показателях степени знаменателя (p^2q³ вместо правильного p^3q³). Решение дано строго по математическим правилам.

Как решение?

Двойная оценка: понятность и подробность. Можно выбрать одно или оба.

Подробность

У вас другое условие?

Загрузите фото — учтём ваши числа и редакцию.

Решить по фото

Частые вопросы

Это точный номер 81 из моего учебника?

Номер совпадает с учебником «Математика. Алгебра: 8-й класс: базовый уровень: учебник; 16-е издание, переработанное», Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.; под редакцией Теляковского С.А.. Формулировка — пересказ редакции, не дословная цитата. Если в вашей редакции другие числа — загрузите фото.

Какой ответ в задании 81?

Краткий ответ: а) z-yyz; б) a^2-b^23ab; в) - p^2+q^2p^3q^3; г) 3m^2-2n^26m^2n^2.

Как пользоваться этим разбором?

Сначала прочитайте условие и чертёж, затем шаги решения по порядку и сверьте свой ход с кратким ответом внизу.

Какой учебник имеется в виду?

«Математика. Алгебра: 8-й класс: базовый уровень: учебник; 16-е издание, переработанное», Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.; под редакцией Теляковского С.А.. Проверьте часть, год и автора на обложке. Тема в учебнике: § 2. Сумма и разность дробей.

Можно ли списать ответ без решения?

Лучше сначала решить самостоятельно, а разбор использовать для проверки хода и поиска ошибки.