ГДЗ по алгебре, 8 класс, Макарычев, номер 792: производная
Математика. Алгебра: 8-й класс: базовый уровень: учебник; 16-е издание, переработанное — Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.; под редакцией Теляковского С.А.
Екатерина Новикова, преподаватель алгебры Шпаргача обновлено 8 сентября 2026
Условие
Сумма положительных чисел a и b равна 40. При каких значениях a и b их произведение будет наибольшим?
Номер как в учебнике. Условие — полный пересказ редакции: те же пункты, числа и факты, не цитата из книги.
Пошаговое решение
План решения:
- Выразим одно из чисел через другое, используя условие о сумме.
- Составим функцию для произведения этих чисел.
- Найдём максимум этой функции с помощью свойств квадратичной функции или производной (в рамках алгебры 8 класса удобнее использовать свойства параболы).
Вычисление:
По условию задачи дано, что a+b=40, где a>0 и b>0. Выразим b через a: b=40-a.
Произведение двух чисел обозначим как P. Подставим выражение для b в формулу произведения: P=a·b=a(40-a)=40a-a2.
Мы получили квадратичную функцию вида y=-x2+40x. Графиком этой функции является парабола, ветви которой направлены вниз (так как коэффициент при a2 равен -1<0). Максимальное значение такая функция принимает в вершине параболы.
Абсцисса вершины параболы y=Ax2+Bx+C вычисляется по формуле x0=-B/2A. В нашем случае A=-1, B=40. Тогда значение a, при котором произведение максимально, равно: a=-40/2·(-1)=40/2=20.
Теперь найдём соответствующее значение b: b=40-20=20.
Проверка:
Если a=20 и b=20, то их сумма равна 20+20=40, что удовлетворяет условию. Произведение равно 20·20=400.
Рассмотрим соседние значения, например, a=19 и b=21. Их сумма также равна 40, но произведение составляет 19·21=399, что меньше 400. Аналогично, при a=15 и b=25 произведение будет 375. Таким образом, действительно, наибольшее произведение достигается, когда числа равны между собой.
a=20, b=20
Задача сводится к нахождению максимума квадратичной функции. Важно подчеркнуть геометрический смысл вершины параболы.
Как решение?
Двойная оценка: понятность и подробность. Можно выбрать одно или оба.
У вас другое условие?
Загрузите фото — учтём ваши числа и редакцию.
Частые вопросы
Это точный номер 792 из моего учебника?
Номер совпадает с учебником «Математика. Алгебра: 8-й класс: базовый уровень: учебник; 16-е издание, переработанное», Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.; под редакцией Теляковского С.А.. Формулировка — пересказ редакции, не дословная цитата. Если в вашей редакции другие числа — загрузите фото.
Какой ответ в задании 792?
Краткий ответ: a=20, b=20.
Как пользоваться этим разбором?
Сначала прочитайте условие и чертёж, затем шаги решения по порядку и сверьте свой ход с кратким ответом внизу.
Какой учебник имеется в виду?
«Математика. Алгебра: 8-й класс: базовый уровень: учебник; 16-е издание, переработанное», Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.; под редакцией Теляковского С.А.. Проверьте часть, год и автора на обложке. Тема в учебнике: Дополнительные упражнения к главе III.
Можно ли списать ответ без решения?
Лучше сначала решить самостоятельно, а разбор использовать для проверки хода и поиска ошибки.