ГДЗ по алгебре, 8 класс, Макарычев, номер 795: квадратные уравнения
Математика. Алгебра: 8-й класс: базовый уровень: учебник; 16-е издание, переработанное — Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.; под редакцией Теляковского С.А.
Мария Волкова, преподаватель алгебры Шпаргача обновлено 8 сентября 2026
Условие
Зная, что m — целое число, найдите целые корни трёхчлена mx2 + (m - 3)x-3.
Номер как в учебнике. Условие — полный пересказ редакции: те же пункты, числа и факты, не цитата из книги.
Пошаговое решение
План решения.
Нам нужно найти целые корни квадратного трёхчлена mx2+(m-3)x-3, где m — целое число. Поскольку коэффициент при старшей степени (m) может быть равен нулю, необходимо рассмотреть два случая: когда уравнение является линейным (m=0) и когда оно остаётся квадратным (m≠0). В каждом случае будем использовать свойства делителей свободного члена или дискриминант для поиска целых корней.
Вычисление.
1. Случай m=0.
Подставим m=0 в выражение:
0·x2+(0-3)x-3=-3x-3Приравниваем к нулю для нахождения корня:
-3x-3=0⇒-3x=3⇒x=-1Корень x=-1 является целым числом. Значит, при m=0 имеем один целый корень.
2. Случай m≠0.
Рассмотрим квадратное уравнение mx2+(m-3)x-3=0. Найдём дискриминант D:
D=b2-4ac=(m-3)2-4·m·(-3) D=(m2-6m+9)+12m=m2+6m+9 D=(m+3)2Так как D является полным квадратом, корни вычисляются по формуле:
x1,2=-b±D/2a=-(m-3)±(m+3)/2mНайдём первый корень x1 (со знаком «+»):
x1=-m+3+m+3/2m=6/2m=3/mНайдём второй корень x2 (со знаком «−»):
x2=-m+3-(m+3)/2m=-m+3-m-3/2m=-2m/2m=-1Второй корень x2=-1 всегда целый при любом m≠0. Первый корень x1=3/m будет целым только тогда, когда m является делителем числа 3. Так как m — целое число и m≠0, возможные значения m: 1,-1,3,-3.
Проверим эти случаи:
- Если m=1, то x1=3/1=3 (целый), x2=-1 (целый).
- Если m=-1, то x1=3/(-1)=-3 (целый), x2=-1 (целый).
- Если m=3, то x1=3/3=1 (целый), x2=-1 (целый).
- Если m=-3, то x1=3/(-3)=-1 (целый), x2=-1 (целый).
Проверка и вывод.
Мы установили, что при m=0 корнем является -1. При m≠0 одним из корней всегда является -1, а второй корень целый только для m∈{1,-1,3,-3}. Таким образом, множество всех возможных целых корней, которые могут получиться при различных допустимых m, включает числа -1,1,3,-3. Однако вопрос обычно подразумевает нахождение самих корней через параметр или перечисление всех возможных значений корней. Если требуется указать все возможные значения целых корней этого трёхчлена при условии, что они существуют, то это x∈{-3,-1,1,3}. Но чаще в таких задачах спрашивают сами корни для конкретного m или общий вид. Учитывая формулировку «найдите целые корни», и тот факт, что m не задано конкретно, но должно обеспечивать целочисленность корней, наиболее полным ответом является указание того, что x=-1 является корнем всегда, а другие корни зависят от m. Тем не менее, стандартный подход к таким задачам с параметром предполагает поиск всех пар (m,x) или просто значений x, которые могут быть корнями. Давайте переформулируем итог: корни равны -1 и 3/m. Чтобы оба были целыми, m должен делить 3. Тогда возможные пары корней: (-1,3), (-1,-3), (-1,1), (-1,-1). То есть множество всех возможных целых корней: -1,1,3,-3.
x=-1; x=3/m (при m ∈ {±1, ±3})
Задача требует анализа параметрического квадратного уравнения. Ключевой момент — разделение случаев m=0 и m≠0. При m≠0 дискриминант оказывается полным квадратом, что упрощает нахождение корней. Целочисленность второго корня накладывает ограничения на m.
Как решение?
Двойная оценка: понятность и подробность. Можно выбрать одно или оба.
У вас другое условие?
Загрузите фото — учтём ваши числа и редакцию.
Частые вопросы
Это точный номер 795 из моего учебника?
Номер совпадает с учебником «Математика. Алгебра: 8-й класс: базовый уровень: учебник; 16-е издание, переработанное», Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.; под редакцией Теляковского С.А.. Формулировка — пересказ редакции, не дословная цитата. Если в вашей редакции другие числа — загрузите фото.
Какой ответ в задании 795?
Краткий ответ: x = -1; x = 3m (при m ∈ ±1, ±3).
Как пользоваться этим разбором?
Сначала прочитайте условие и чертёж, затем шаги решения по порядку и сверьте свой ход с кратким ответом внизу.
Какой учебник имеется в виду?
«Математика. Алгебра: 8-й класс: базовый уровень: учебник; 16-е издание, переработанное», Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.; под редакцией Теляковского С.А.. Проверьте часть, год и автора на обложке. Тема в учебнике: Дополнительные упражнения к главе III.
Можно ли списать ответ без решения?
Лучше сначала решить самостоятельно, а разбор использовать для проверки хода и поиска ошибки.