ГДЗ по алгебре, 8 класс, Макарычев, номер 802: система уравнений

Для решения уравнений графическим методом необходимо построить графики двух функций, стоящих в левой и правой частях уравнения, и найти абсциссы точек их пересечения. В каждом пункте мы будем рассматривать функции вида y₁=k/|x| и y₂=f(x).

а) 6/|x|=1,5x-2

1. Построим график функции y₁=6/|x|. Это гипербола, симметричная относительно оси ординат, расположенная в первой и второй четвертях. При x>0 это ветвь гиперболы y=6/x, при x<0 — ветвь y=-6/x (так как модуль делает аргумент положительным, но знак функции зависит от формулы: для x<0, |x|=-x, значит y=6/(-x)? Нет, |x| всегда положительно. Если x=-2, то |-2|=2, y=3. График лежит выше оси Ox).
2. Построим график линейной функции y₂=1,5x-2. Это прямая с угловым коэффициентом 1,5 и точкой пересечения с осью Oy в (0;-2).
3. Найдем точки пересечения. Очевидно, что при x<0 левая часть положительна (6/|x|>0), а правая часть отрицательна (1,5x-2<-2). Значит, корней на промежутке (-∞;0) нет.
4. При x>0 решаем алгебраически для проверки графика: 6/x=1,5x-2⇒6=1,5x²-2x⇒1,5x²-2x-6=0. Умножим на 2: 3x²-4x-12=0. Дискриминант D=16-4·3·(-12)=16+144=160. Корни x=4±160/6=4±410/6=2±210/3. Так как x>0, берем только положительный корень: x=2+210/3≈2+6,32/3≈2,77. На графике это точка пересечения ветви гиперболы и прямой в первой четверти.

Ответ а): x=2+210/3.

б) 8/|x|=x²

1. Функция y₁=8/|x| — та же гипербола, что и в пункте а).
2. Функция y₂=x² — парабола с вершиной в начале координат, ветвями вверх.
3. Так как обе функции четные (f(-x)=f(x)), графики симметричны относительно оси Oy. Точки пересечения будут иметь противоположные абсциссы.
4. Рассмотрим x>0. Тогда 8/x=x²⇒x³=8⇒x=2. По симметрии, вторым решением является x=-2.
5. Проверка по графику: в точке x=2 значение y₁=8/2=4, y₂=2²=4. Совпадение найдено.

Ответ б): x=2;x=-2.

в) 3/|x|=x+1

1. График y₁=3/|x| лежит выше оси Ox.
2. График y₂=x+1 — прямая, пересекающая ось Oy в точке (0;1) и ось Ox в (-1;0).
3. Случай x<0: Левая часть положительна. Правая часть x+1 может быть положительной только если -1<x<0. В этом интервале |x|=-x, уравнение принимает вид 3/-x=x+1⇒-3=x(x+1)⇒x²+x+3=0. Дискриминант D=1-12=-11<0. Решений нет. При x≤-1 правая часть неположительна, а левая строго положительна, решений тоже нет.
4. Случай x>0: |x|=x. Уравнение: 3/x=x+1⇒3=x²+x⇒x²+x-3=0. Дискриминант D=1-4(1)(-3)=13. Корни x=-1±13/2. Так как x>0, выбираем x=-1+13/2≈-1+3,6/2=1,3.

Ответ в): x=-1+13/2.

г) x²=5/|x|

1. Это уравнение аналогично пункту б), только константа другая.
2. Обе функции четные, поэтому корни симметричны.
3. При x>0: x²=5/x⇒x³=5⇒x=35.
4. При x<0: по симметрии x=-35.
5. Значение 35≈1,71. Проверка: (1,71)²≈2,92, 5/1,71≈2,92. Совпадает.

Ответ г): x=35;x=-35.