8 класс квадратные уравнения Дополнительные упражнения к главе III

ГДЗ по алгебре, 8 класс, Макарычев, номер 805: квадратные уравнения

Математика. Алгебра: 8-й класс: базовый уровень: учебник; 16-е издание, переработанное — Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.; под редакцией Теляковского С.А.

Павел Лебедев, преподаватель алгебры Шпаргача обновлено 8 сентября 2026

← 804 806 →

Условие

Найти значения переменной y, при которых

а) сумма дробей 6/(y+1) и y/(y-2) равна их произведению

б) сумма дробей 2/(y-3) и 6/(y+3) равна их частному

в) разность дробей (y+12)/(y-4) и y/(y+4) равна их произведению.

Номер как в учебнике. Условие — полный пересказ редакции: те же пункты, числа и факты, не цитата из книги.

Пошаговое решение

Решим каждое уравнение отдельно, учитывая область допустимых значений (ОДЗ) для каждой дроби.

а) Сумма дробей 6/y+1 и y/y-2 равна их произведению.

Запишем уравнение: 6/y+1+y/y-2=6/y+1·y/y-2
ОДЗ: y≠-1, y≠2.
Приведем левую часть к общему знаменателю (y+1)(y-2): 6(y-2)+y(y+1)/(y+1)(y-2)=6y/(y+1)(y-2)
Так как знаменатели совпадают и не равны нулю, приравниваем числители: 6(y-2)+y(y+1)=6y 6y-12+y²+y=6y y²+y-12=0
Решаем квадратное уравнение. По теореме Виета корни: y₁=3, y₂=-4.
Проверка ОДЗ: оба корня подходят (3≠-1,3≠2; -4≠-1,-4≠2).

Ответ а): y=3;y=-4.

б) Сумма дробей 2/y-3 и 6/y+3 равна их частному.

Запишем уравнение: 2/y-3+6/y+3=2/y-3:6/y+3
ОДЗ: y≠3, y≠-3. Также делитель не равен нулю, что уже учтено в ОДЗ.
Упростим правую часть (частное равно произведению на обратную дробь): 2/y-3·y+3/6=2(y+3)/6(y-3)=y+3/3(y-3)
Левая часть с общим знаменателем (y-3)(y+3): 2(y+3)+6(y-3)/(y-3)(y+3)=2y+6+6y-18/(y-3)(y+3)=8y-12/(y-3)(y+3)
Приравниваем упрощенные части: 8y-12/(y-3)(y+3)=y+3/3(y-3)
Сократим на (y-3) (так как y≠3): 8y-12/y+3=y+3/3
Перемножим крест-накрест: 3(8y-12)=(y+3)² 24y-36=y²+6y+9 y²-18y+45=0
Решаем квадратное уравнение. Дискриминант D=(-18)²-4·45=324-180=144. Корни: y_1,2=18±12/2 y₁=30/2=15, y₂=6/2=3
Проверка ОДЗ: y=3 не подходит, так как знаменатель обращается в ноль. y=15 подходит.

Ответ б): y=15.

в) Разность дробей y+12/y-4 и y/y+4 равна их произведению.

Запишем уравнение: y+12/y-4-y/y+4=y+12/y-4·y/y+4
ОДЗ: y≠4, y≠-4.
Приведем левую часть к общему знаменателю (y-4)(y+4): (y+12)(y+4)-y(y-4)/(y-4)(y+4) Раскроем скобки в числителе: (y²+4y+12y+48)-(y²-4y)=y²+16y+48-y²+4y=20y+48
Правая часть: y(y+12)/(y-4)(y+4)=y²+12y/(y-4)(y+4)
Приравниваем числители: 20y+48=y²+12y y²-8y-48=0
Решаем квадратное уравнение. По теореме Виета или через дискриминант (D=64+192=256): y_1,2=8±16/2 y₁=24/2=12, y₂=-8/2=-4
Проверка ОДЗ: y=-4 не подходит (знаменатель второй дроби). y=12 подходит.

Ответ в): y=12.

Ответ

а) 3; -4

б) 15

в) 12

В пункте б) важно не потерять ограничение ОДЗ, так как один из корней квадратного уравнения попадает в запрещенную зону. В пункте в) аналогичная ситуация с отбрасыванием корня.

Как решение?

Двойная оценка: понятность и подробность. Можно выбрать одно или оба.

Подробность

У вас другое условие?

Загрузите фото — учтём ваши числа и редакцию.

Решить по фото

Частые вопросы

Это точный номер 805 из моего учебника?

Номер совпадает с учебником «Математика. Алгебра: 8-й класс: базовый уровень: учебник; 16-е издание, переработанное», Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.; под редакцией Теляковского С.А.. Формулировка — пересказ редакции, не дословная цитата. Если в вашей редакции другие числа — загрузите фото.

Какой ответ в задании 805?

Краткий ответ: а) 3; -4; б) 15; в) 12.

Как пользоваться этим разбором?

Сначала прочитайте условие и чертёж, затем шаги решения по порядку и сверьте свой ход с кратким ответом внизу.

Какой учебник имеется в виду?

«Математика. Алгебра: 8-й класс: базовый уровень: учебник; 16-е издание, переработанное», Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.; под редакцией Теляковского С.А.. Проверьте часть, год и автора на обложке. Тема в учебнике: Дополнительные упражнения к главе III.

Можно ли списать ответ без решения?

Лучше сначала решить самостоятельно, а разбор использовать для проверки хода и поиска ошибки.