8 класс уравнения Дополнительные упражнения к главе III

ГДЗ по алгебре, 8 класс, Макарычев, номер 829: уравнения

Математика. Алгебра: 8-й класс: базовый уровень: учебник; 16-е издание, переработанное — Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.; под редакцией Теляковского С.А.

Илья Морозов, редактор алгебраических разборов Шпаргача обновлено 8 сентября 2026

← 828 830 →

Условие

Для наполнения бассейна через первую трубу потребуется на 9 ч больше времени, чем при наполнении через первую и вторую трубы, и на 7 ч меньше, чем через одну вторую трубу. За сколько часов наполнится бассейн через обе трубы?

Номер как в учебнике. Условие — полный пересказ редакции: те же пункты, числа и факты, не цитата из книги.

Пошаговое решение

План решения:

Обозначим время наполнения бассейна через обе трубы вместе как t (в часах). Это искомая величина. Нам нужно выразить времена работы первой и второй труб отдельно через t, используя условия задачи, а затем составить уравнение на основе производительности.

Вычисление:

1. Пусть t — время наполнения бассейна через обе трубы одновременно.

2. По условию, для наполнения бассейна только через первую трубу требуется на 9 ч больше времени, чем при совместной работе. Значит, время работы первой трубы: t₁=t+9.

3. Также по условию, это же время (t₁) на 7 ч меньше, чем время наполнения только через вторую трубу. Значит, время работы второй трубы: t₂=t₁+7=(t+9)+7=t+16.

4. Производительность первой трубы равна 1/t+9 части бассейна в час, второй — 1/t+16 части в час. Совместная производительность равна 1/t части в час.

5. Составим уравнение:

1/t+9+1/t+16=1/t

Приведем левую часть к общему знаменателю:

(t+16)+(t+9)/(t+9)(t+16)=1/t 2t+25/(t+9)(t+16)=1/t

Используем свойство пропорции (перекрестное умножение):

t(2t+25)=(t+9)(t+16) 2t²+25t=t²+16t+9t+144 2t²+25t=t²+25t+144

Перенесем все слагаемые в одну сторону:

2t²-t²+25t-25t-144=0 t²-144=0 t²=144

Так как время не может быть отрицательным, то t=12.

Проверка:

Если t=12, то время первой трубы t₁=12+9=21 ч, а время второй трубы t₂=12+16=28 ч.

Проверим условие «на 7 ч меньше»: 28-21=7. Верно.

Проверим совместную работу:

1/21+1/28=4/84+3/84=7/84=1/12

Производительность действительно соответствует времени 12 часов. Ответ верен.

Ответ

12 ч

Задача сводится к рациональному уравнению. Ключевой момент — правильно выразить времена отдельных труб через искомое время совместной работы t. Первая труба: t+9. Вторая труба: (t+9)+7=t+16. Уравнение вида 1/(t+9)+1/(t+16)=1/t решается приведением к квадратному уравнению, которое оказывается неполным (t²=144).

Как решение?

Двойная оценка: понятность и подробность. Можно выбрать одно или оба.

Подробность

У вас другое условие?

Загрузите фото — учтём ваши числа и редакцию.

Решить по фото

Частые вопросы

Это точный номер 829 из моего учебника?

Номер совпадает с учебником «Математика. Алгебра: 8-й класс: базовый уровень: учебник; 16-е издание, переработанное», Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.; под редакцией Теляковского С.А.. Формулировка — пересказ редакции, не дословная цитата. Если в вашей редакции другие числа — загрузите фото.

Какой ответ в задании 829?

Краткий ответ: 12 ч.

Как пользоваться этим разбором?

Сначала прочитайте условие и чертёж, затем шаги решения по порядку и сверьте свой ход с кратким ответом внизу.

Какой учебник имеется в виду?

«Математика. Алгебра: 8-й класс: базовый уровень: учебник; 16-е издание, переработанное», Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.; под редакцией Теляковского С.А.. Проверьте часть, год и автора на обложке. Тема в учебнике: Дополнительные упражнения к главе III.

Можно ли списать ответ без решения?

Лучше сначала решить самостоятельно, а разбор использовать для проверки хода и поиска ошибки.