8 класс Дробные рациональные уравнения § 9. Дробные рациональные уравнения

ГДЗ по алгебре, 8 класс, Макарычев, номер 830: Дробные рациональные уравнения

Математика. Алгебра: 8-й класс: базовый уровень: учебник; 16-е издание, переработанное — Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.; под редакцией Теляковского С.А.

Илья Морозов, преподаватель алгебры Шпаргача обновлено 8 сентября 2026

← 829 831 →

Условие

Два слесаря выполняли заказ: сначала 1 час работал первый, затем 4 часа они трудились вместе и выполнили в итоге 40% заказа. Требуется найти время, за которое каждый из них выполнил бы весь заказ по отдельности, если известно, что первому на это потребовалось бы на 5 часов больше, чем второму.

Номер как в учебнике. Условие — полный пересказ редакции: те же пункты, числа и факты, не цитата из книги.

Пошаговое решение

Для решения задачи введем переменные, обозначающие время, необходимое каждому слесарю для выполнения всего заказа по отдельности. Пусть x часов — время второго слесаря, тогда (x+5) часов — время первого слесаря. Скорость работы (производительность) равна части заказа, выполняемой за один час: для второго это 1/x, а для первого — 1/x+5.

Составим уравнение на основе условий задачи. Первый работал 1 час, затем оба работали вместе 4 часа. Всего было выполнено 40% заказа, то есть 0,4 или 2/5 всей работы. Запишем сумму выполненной работы:

1·1/x+5+4(1/x+5+1/x)=2/5

Упростим левую часть уравнения. Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые при 1/x+5:

1/x+5+4/x+5+4/x=2/5
5/x+5+4/x=2/5

Решим полученное рациональное уравнение. Приведем дроби к общему знаменателю 5x(x+5) или умножим обе части на этот общий знаменатель, учитывая, что x≠0 и x≠-5:

5·5x+4·5(x+5)=2·x(x+5)
25x+20(x+5)=2(x²+5x)
25x+20x+100=2x²+10x
45x+100=2x²+10x

Перенесем все члены в правую часть и получим квадратное уравнение:

2x²-35x-100=0

Найдем дискриминант:

D=(-35)²-4·2·(-100)=1225+800=2025
D=45

Корни уравнения:

x₁=35+45/4=80/4=20
x₂=35-45/4=-10/4=-2,5

Так как время не может быть отрицательным, отбрасываем корень x₂. Таким образом, второму слесарю требуется 20 часов. Первому слесарю требуется 20+5=25 часов.

Проверка: Производительность первого 1/25, второго 1/20. Работа за 1 час первым: 1/25. Работа за 4 часа вместе: 4(1/25+1/20)=4(4+5/100)=4·9/100=36/100=0,36. Общая работа: 1/25+0,36=0,04+0,36=0,4, что соответствует 40% заказа. Ответ верный.

Ответ

25 ч и 20 ч

Краткий ответ сверен с разделом «Ответы» учебника.

Как решение?

Двойная оценка: понятность и подробность. Можно выбрать одно или оба.

Подробность

У вас другое условие?

Загрузите фото — учтём ваши числа и редакцию.

Решить по фото

Частые вопросы

Это точный номер 830 из моего учебника?

Номер совпадает с учебником «Математика. Алгебра: 8-й класс: базовый уровень: учебник; 16-е издание, переработанное», Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.; под редакцией Теляковского С.А.. Формулировка — пересказ редакции, не дословная цитата. Если в вашей редакции другие числа — загрузите фото.

Какой ответ в задании 830?

Краткий ответ: 25 ч и 20 ч.

Как пользоваться этим разбором?

Сначала прочитайте условие и чертёж, затем шаги решения по порядку и сверьте свой ход с кратким ответом внизу.

Какой учебник имеется в виду?

«Математика. Алгебра: 8-й класс: базовый уровень: учебник; 16-е издание, переработанное», Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.; под редакцией Теляковского С.А.. Проверьте часть, год и автора на обложке. Тема в учебнике: § 9. Дробные рациональные уравнения.

Можно ли списать ответ без решения?

Лучше сначала решить самостоятельно, а разбор использовать для проверки хода и поиска ошибки.