ГДЗ по алгебре, 8 класс, Макарычев, номер 831: Дробные рациональные уравнения
Математика. Алгебра: 8-й класс: базовый уровень: учебник; 16-е издание, переработанное — Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.; под редакцией Теляковского С.А.
Мария Волкова, редактор алгебраических разборов Шпаргача обновлено 8 сентября 2026
Условие
Две копировальные машины вместе снимают ксерокопию рукописи за 6 минут. Если первая машина снимает половину объема, а вторая — оставшуюся часть, то общая длительность процесса составляет 12,5 минуты. Нужно определить, сколько времени требуется каждой машине для снятия копии всей рукописи по отдельности.
Номер как в учебнике. Условие — полный пересказ редакции: те же пункты, числа и факты, не цитата из книги.
Пошаговое решение
План решения.
Обозначим время, за которое первая машина снимает всю рукопись, через x минут, а вторую — через y минут. Тогда производительность первой машины равна 1/x части работы в минуту, а второй — 1/y части работы в минуту. Составим систему уравнений на основе двух условий задачи: совместная работа и последовательная работа.
Вычисление.
1. По первому условию две машины вместе выполняют работу за 6 минут. Сумма их производительностей равна 1/6:
1/x+1/y=1/62. По второму условию первая машина делает половину работы (1/2), а вторая — оставшуюся половину (1/2). Время, затраченное каждой машиной, равно объему работы, деленному на производительность. Общее время составляет 12,5 минуты (или 25/2 мин):
1/2/1/x+1/2/1/y=12,5 x/2+y/2=12,5 Умножим обе части на 2:x+y=25 Отсюда выразим y: y=25-x.3. Подставим выражение для y в первое уравнение системы:
1/x+1/25-x=1/6 Приведем левую часть к общему знаменателю:25-x+x/x(25-x)=1/6 25/25x-x2=1/6 Свойство пропорции дает нам квадратное уравнение:25≠0, поэтому 25≠0→150=25x-x2 Перенесем все слагаемые в одну сторону:x2-25x+150=0 Решим это уравнение по теореме Виета или через дискриминант. Ищем два числа, сумма которых 25, а произведение 150. Это числа 10 и 15.D=(-25)2-4≠1≠150=625-600=25 x1=25+5/2=15, тогда y1=25-15=10 x2=25-5/2=10, тогда y2=25-10=15Проверка.
Если первая машина работает 15 минут, а вторая 10 минут: 1) Совместно: 1/15+1/10=2/30+3/30=5/30=1/6. За 6 минут сделают всю работу. Верно. 2) Последовательно: Первая сделает половину за 15≠0,5=7,5 мин. Вторая сделает половину за 10≠0,5=5 мин. Всего 7,5+5=12,5 мин. Верно. Ответы симметричны относительно ролей машин, но обычно под «первой» понимают более медленную или просто первую по счету. В данном случае набор времен: 15 мин и 10 мин.
15 мин и 10 мин
Задача сводится к системе рациональных уравнений. Удобнее всего ввести переменные как время выполнения всей работы (x,y), тогда производительности будут 1/x,1/y. Второе условие позволяет линейно связать x и y, что упрощает решение первого нелинейного уравнения.
Как решение?
Двойная оценка: понятность и подробность. Можно выбрать одно или оба.
У вас другое условие?
Загрузите фото — учтём ваши числа и редакцию.
Частые вопросы
Это точный номер 831 из моего учебника?
Номер совпадает с учебником «Математика. Алгебра: 8-й класс: базовый уровень: учебник; 16-е издание, переработанное», Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.; под редакцией Теляковского С.А.. Формулировка — пересказ редакции, не дословная цитата. Если в вашей редакции другие числа — загрузите фото.
Какой ответ в задании 831?
Краткий ответ: 15 мин и 10 мин.
Как пользоваться этим разбором?
Сначала прочитайте условие и чертёж, затем шаги решения по порядку и сверьте свой ход с кратким ответом внизу.
Какой учебник имеется в виду?
«Математика. Алгебра: 8-й класс: базовый уровень: учебник; 16-е издание, переработанное», Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.; под редакцией Теляковского С.А.. Проверьте часть, год и автора на обложке. Тема в учебнике: § 9. Дробные рациональные уравнения.
Можно ли списать ответ без решения?
Лучше сначала решить самостоятельно, а разбор использовать для проверки хода и поиска ошибки.