ГДЗ по алгебре, 8 класс, Макарычев, номер 869: Свойства числовых неравенств

План решения.

Для упорядочивания дробей с одинаковыми числителями (в данном случае числитель равен 1) нужно сравнить их знаменатели. Чем больше положительный знаменатель, тем меньше сама дробь. Нам даны четыре положительных числа a,b,c,d и неравенства между ними: a>b, d<b и c>a. Наша задача — сначала выстроить сами числа в порядке возрастания или убывания, а затем, опираясь на свойство обратных величин, расставить дроби.

Вычисление и логический вывод.

Проанализируем данные условия:

• Из условия c>a следует, что число c больше числа a.
• Из условия a>b следует, что число a больше числа b.
• Из условия d<b следует, что число b больше числа d.

Соединим эти неравенства в одну цепочку. Так как c>a, a>b и b>d (так как d<b), то получаем строгий порядок для самих чисел по убыванию:

Все числа положительны (a,b,c,d>0). Вспомним свойство функции обратной пропорциональности y=1/x при x>0: эта функция является убывающей. Это значит, что если x₁>x₂, то 1/x₁<1/x₂.

Применим это правило к нашей цепочке c>a>b>d:

1. Так как c — самое большое число, то дробь 1/c будет самой маленькой.
2. Так как a меньше c, но больше остальных, то 1/a будет следующей по возрастанию.
3. Так как b меньше a, то 1/b будет больше 1/a.
4. Так как d — самое маленькое число из всех данных, то дробь 1/d будет самой большой.

Запишем полученную цепочку неравенств для дробей:

Проверка.

Подставим конкретные положительные числа, удовлетворяющие условиям, чтобы убедиться в правильности вывода. Пусть d=1, тогда b должно быть больше 1, например, b=2. Число a должно быть больше b, пусть a=4. Число c должно быть больше a, пусть c=8. Проверим условия: a>b (4>2 — верно), da (8>4 — верно).

Теперь найдем значения дробей:

• 1/c=1/8=0,125
• 1/a=1/4=0,25
• 1/b=1/2=0,5
• 1/d=1/1=1

Упорядочим полученные десятичные дроби по возрастанию: 0,125<0,25<0,5<1. Это соответствует порядку 1/c<1/a<1/b<1/d. Результат совпадает с теоретическим выводом.