ГДЗ по алгебре, 8 класс, Макарычев, номер 870: Свойства числовых неравенств

План решения:

Так как по условию a>0, то знак и порядок величин выражений зависят только от числовых коэффициентов при a. Для сравнения вынесем общий множитель a за скобки или просто сравним сами коэффициенты. Нам понадобятся приближенные значения корней: 2≈1,41, 3≈1,73, 5≈2,24, 6≈2,45, 7≈2,65.

а) Упорядочим по возрастанию:

Выпишем коэффициенты при a для каждого выражения:

• -a: коэффициент -1;
• a(3-2): коэффициент 3-2≈1,73-1,41=0,32;
• a3: коэффициент 3≈1,73;
• 2a: коэффициент 2;
• 3a: коэффициент 3.

Сравним полученные числа: -1<0,32<1,73<2<3.

Следовательно, порядок по возрастанию будет таким: -a;a(3-2);a3;2a;3a.

б) Упорядочим по убыванию:

Здесь нужно быть внимательнее с последним выражением -5a-1, так как оно не является произведением числа на a. Однако в задачах такого типа обычно подразумевается сравнение линейных функций или опечатка в условии учебника (часто встречается вариант -5a). Но будем решать строго по тексту.

Давайте сначала оценим выражения, явно зависящие от a (коэффициенты):

• 6a: коэффициент 6;
• a(7-6): коэффициент 7-6≈2,65-2,45=0,2;
• -a: коэффициент -1;
• -a5: коэффициент -5≈-2,24.

Теперь разберемся с -5a-1. Так как a>0, то -5a<0, значит -5a-1<-1. Это выражение меньше, чем -a (так как -a>-5a-1 при малых a? Нет, давай проверим точнее).

Сравним -a и -5a-1. Разность: (-a)-(-5a-1)=4a+1. Так как a>0, то 4a+1>0, следовательно -a>-5a-1.

Сравним -a5 и -5a-1. При больших a доминирует член с a. Коэффициент при a у первого -2,24, у второго -5. Значит -5a растет по модулю быстрее. Но есть свободный член -1. Давай подставим конкретное значение, например a=1. Тогда значения: 6,0,2,-1,-2,24,-6. Порядок: 6>0,2>-1>-2,24>-6. То есть 6a>a(7-6)>-a>-a5>-5a-1.

Проверим для другого a, например a=0,1. Значения: 0,6;0,02;-0,1;-0,224;-1,5. Порядок тот же.

Проверим граничный случай, когда может измениться порядок между отрицательными числами. Сравним -a5 и -5a-1. Пусть -a5>-5a-1⇒5a-a5>-1⇒a(5-5)>-1. Так как левая часть положительна при a>0, а правая отрицательна, неравенство верно всегда. Значит -a5 всегда больше -5a-1.

Итак, коэффициенты/значения в порядке убывания:

1. 6a (самое большое положительное);
2. a(7-6) (положительное, но очень маленькое, ≈0,2a);
3. -a (отрицательное, -1a);
4. -a5 (отрицательное, ≈-2,24a);
5. -5a-1 (отрицательное, самое маленькое, так как содержит -5a и еще минус единицу).

Ответ б): 6a;a(7-6);-a;-a5;-5a-1.