ГДЗ по алгебре, 8 класс, Макарычев, номер 883: Свойства числовых неравенств

Рассмотрим утверждения для положительных чисел a и b. Поскольку a>0 и b>0, то их произведения и степени также положительны. Будем использовать свойства числовых неравенств: если обе части неравенства умножить на одно и то же положительное число, знак неравенства сохраняется. а) Если a²>b², то верно ли, что a³>b³? Дано неравенство a²>b².Так как по условию a>0, мы можем умножить обе части этого неравенства на a, не меняя знака неравенства:Получаем: a²·a>b²·a, то есть a³>ab².Теперь посмотрим на правую часть исходного неравенства a²>b². Так как b>0, умножим обе части на b: a^2b>b³.Однако более простой путь: из a²>b² следует, что |a|>|b|. Для положительных чисел это означает a>b.Если a>b и a>0,b>0, то возведение в куб сохраняет порядок (функция y=x³ возрастает на всей числовой прямой).Следовательно, a³>b³. Вывод по пункту а): Утверждение верно. б) Если a³>b³, то верно ли, что a²>b²? Дано неравенство a³>b³.Функция f(x)=x³ является строго возрастающей на множестве всех действительных чисел. Это значит, что из a³>b³ однозначно следует a>b.По условию задачи числа a и b положительны (a>0,b>0).Так как a>b>0, то при возведении обеих частей неравенства в квадрат знак неравенства сохранится (так как функция g(x)=x² возрастает при x>0).Следовательно, a²>b². Вывод по пункту б): Утверждение верно. Проверка: Возьмем конкретные числа, например, a=2,b=1.а) 2²=4>1²=1. Тогда 2³=8>1³=1. Верно.б) 2³=8>1³=1. Тогда 2²=4>1²=1. Верно.Оба утверждения истинны для любых положительных a и b.