ГДЗ по алгебре, 8 класс, Макарычев, номер 892: Свойства числовых неравенств

План решения.

Для доказательства неравенств воспользуемся известным фактом: для любых неотрицательных чисел x и y справедливо неравенство между средним арифметическим и средним геометрическим (AM-GM): x+y/2≥xy, или в эквивалентной форме x+y≥2xy. Мы применим это неравенство к каждой паре слагаемых (a,b), (b,c) и (a,c), а затем перемножим полученные результаты. Для пункта б) дополнительно учтем условие для единиц.

Вычисление.

а) Рассмотрим три пары неотрицательных чисел:

1. Для a и b: a+b≥2ab;
2. Для b и c: b+c≥2bc;
3. Для a и c: a+c≥2ac.

Так как все части неравенств неотрицательны, мы можем их перемножить:

Упростим правую часть:

так как a,b,c≥0. Таким образом, получаем требуемое неравенство: (a+b)(b+c)(a+c)≥8abc.

б) Нам нужно доказать, что (a+1)(b+1)(c+1)/16≥abc. Это эквивалентно неравенству (a+1)(b+1)(c+1)≥16abc. Применим AM-GM к каждому множителю вида (x+1), где x∈{a,b,c}:

1. a+1≥2a·1=2a;
2. b+1≥2b·1=2b;
3. c+1≥2c·1=2c.

Перемножим эти три неравенства:

Здесь возникает нюанс: прямое перемножение дает 8abc, а нам нужно получить 16abc. Давайте посмотрим внимательнее на структуру задачи. Обычно такие задачи решаются через подстановку или более сложную комбинацию AM-GM. Однако, если предположить стандартный подход для школьной программы, возможно, здесь подразумевается использование неравенства для четырех чисел или специфическая группировка.

Давайте попробуем другой путь, часто используемый в таких задачах: применим AM-GM к выражению a+1 не напрямую, а заметим, что если мы возьмем произведение всех трех левых частей из пункта а), то есть (a+b)(b+c)(c+a)≥8abc, это не совсем то.

Вернемся к условию б). Докажем неравенство a+1≥2a. Это верно. Тогда (a+1)(b+1)(c+1)≥8abc. Чтобы получить 16abc, нужно чтобы 8abc≥16abc, то есть abc≤1/2, что неверно для всех a,b,c≥0. Значит, простое применение AM-GM к каждому скобке отдельно недостаточно сильно или требует иного подхода.

Однако, давайте проверим граничный случай a=b=c=1. Левая часть: (2)(2)(2)/16=8/16=0.5. Правая часть: 1. Неравенство 0.5≥1 ложно!

Проверим условие еще раз. Возможно, в условии опечатка или я неправильно интерпретирую «докажите верность». Если a=b=c=1, то (1+1)(1+1)(1+1)/16=8/16=1/2, а abc=1. 1/2<1. Утверждение ложно при a=b=c=1.

Но подождите, может быть, там должно быть ≥abc без деления на 16? Или коэффициент другой? Или условия на a,b,c другие?

Давайте рассмотрим вариант, когда в учебнике подразумевается доказательство неравенства вида (a+1)(b+1)(c+1)≥8abc? При a=b=c=1: 8≥8 — верно. Но в условии стоит деление на 16.

Рассмотрим вариант, что нужно доказать (a+1)(b+1)(c+1)/8≥abc? При a=b=c=1: 1≥1 — верно.

Рассмотрим вариант, что переменные ограничены сверху? Нет, сказано a,b,c≥0.

Возможно, в пункте б) речь идет о другом неравенстве. Например, если использовать неравенство Коши для 4 чисел?

Давайте предположим, что в условии учебника ошибка в знаменателе или числителе, либо я должен доказать его для конкретных случаев. Но инструкция говорит: «ключ... ориентир... если числа дают другой результат, пиши свой».

Однако, есть классическое неравенство: (a+1)(b+1)(c+1)≥8abc верно только если a,b,c достаточно велики? Нет, при малых a левая часть близка к 1, правая к 0. Верно. При больших a левая ~ abc, правая ~ 8abc. Неверно. То есть (a+1)(b+1)(c+1)≥8abc неверно для больших a.

На самом деле, верно неравенство: (a+1)(b+1)(c+1)≥8abc (как мы вывели выше). И оно не сравнимо напрямую с 16abc.

Давайте посмотрим на пункт б) снова. Может быть, там a,b,c таковы, что abc=1? Нет, общего условия нет.

Если строго следовать математике, утверждение б) ложно . Контрпример: a=b=c=1. ЛHS = 8/16=0.5, RHS = 1. 0.5<1.

Но так как это задание из учебника, скорее всего, там опечатка в условии, и, вероятно, имелось в виду доказать неравенство вида (a+1)(b+1)(c+1)≥8abc при условии a,b,c≥1? Или, что более вероятно для темы «среднее арифметическое», там должно быть другое выражение.

Часто встречается задача: Доказать, что (a+1)(b+1)(c+1)≥8abc если a,b,c>0? Нет, это неверно (a=10implies1331≥8000 ложь).

Есть известное неравенство: (a+1)(b+1)(c+1)≥8abc? Да.

Может быть, в условии пропущено слово «если a,b,c таковы, что...»?

Или, возможно, в знаменателе должно быть 8, а не 16? Тогда (a+1)(b+1)(c+1)/8≥abc тоже неверно для больших a.

Давайте рассмотрим вариант, что нужно доказать неравенство для обратных величин или что-то подобное.

Тем не менее, как учитель, я обязан указать на ошибку в условии, если она есть, но попытаться найти наиболее вероятную «правильную» версию задания, которую обычно дают в 8 классе по этой теме.

Самый частый тип задач: Доказать, что a+b/2≥ab.

Для пункта б) наиболее похожее корректное неравенство, которое доказывается через AM-GM: Доказать, что (a+1)(b+1)(c+1)≥8abc . Но в условии написано ≥abc с делением на 16.

Другой вариант: Если a,b,c — стороны треугольника? Нет.

Предположим, что в условии опечатка и должно быть: Доказать, что (a+1)(b+1)(c+1)/8≥abc ? Это следует из нашего вывода.

Или, возможно, условие такое: a,b,c≥1? Тогда a+1≤2a? Нет, a+1≤2a верно при a≥1. Тогда (a+1)(b+1)(c+1)≤8abc. Знак меняется.

Поскольку решение пункта а) абсолютно стандартное и верное, а пункт б) содержит математически ложное утверждение для общих a,b,c≥0, я приведу решение для пункта а), а для пункта б) укажу на контрпример и предложу исправленную формулировку, которая является следствием пункта а) или аналогичного применения AM-GM.

Однако, иногда в таких задачах подразумевается использование неравенства a+1≥2a и последующего сравнения.

Давайте напишем решение для а), а для б) покажем, что утверждение неверно, приведя контрпример, и докажем верное неравенство, следующее из AM-GM.

Проверка.

Для пункта а) при a=b=c=1: (2)(2)(2)=8, 8(1)(1)(1)=8. 8≥8 — верно. При a=1,b=1,c=0: (2)(1)(1)=2, 0. 2≥0 — верно.

Для пункта б) при a=b=c=1: 8/16=0.5, abc=1. 0.5≥1 — неверно. Следовательно, исходное утверждение б) ложно.