ГДЗ по алгебре, 8 класс, Макарычев, номер 897: Свойства числовых неравенств

План решения:

Для доказательства неравенств воспользуемся методом разложения на множители или приведением к полному квадрату. В пункте а) перенесём все слагаемые в левую часть и преобразуем выражение так, чтобы получить квадрат суммы. В пункте б) учтём знак переменной b<0, что позволит нам работать с положительными величинами или также использовать метод полного квадрата после умножения на отрицательное число (с изменением знака неравенства).

Решение пункта а):

Дано неравенство 9a+1/a≥6 при условии a>0. Перенесём правую часть влево: 9a-6+1/a≥0 Приведём к общему знаменателю a: 9a²-6a+1/a≥0 Числитель представляет собой полный квадрат разности: 9a²-6a+1=(3a-1)². Тогда неравенство принимает вид: (3a-1)²/a≥0 Так как по условию a>0, то знаменатель положителен. Квадрат любого действительного числа неотрицателен, то есть (3a-1)²≥0. Отношение неотрицательного числа к положительному всегда неотрицательно. Следовательно, исходное неравенство верно для всех a>0.

Решение пункта б):

Дано неравенство 25b+1/b≤-10 при условии b<0. Перенесём правую часть влево: 25b+1/b+10≤0 Приведём к общему знаменателю b: 25b²+10b+1/b≤0 Числитель является полным квадратом суммы: 25b²+10b+1=(5b+1)². Неравенство принимает вид: (5b+1)²/b≤0 По условию b<0, значит, знаменатель отрицателен. Числитель (5b+1)²≥0 для любого b. Отношение неотрицательного числа к отрицательному числу будет неположительным (меньше или равно нулю). Таким образом, неравенство выполняется для всех b<0.

Проверка:

В обоих случаях мы свели задачу к анализу знака дроби, где числитель — точный квадрат (неотрицателен), а знаменатель имеет фиксированный знак согласно условию задачи. Это подтверждает правильность выводов.