ГДЗ по алгебре, 8 класс, Макарычев, номер 906: Свойства числовых неравенств
Математика. Алгебра: 8-й класс: базовый уровень: учебник; 16-е издание, переработанное — Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.; под редакцией Теляковского С.А.
Кирилл Панов, редактор алгебраических разборов Шпаргача обновлено 8 сентября 2026
Условие
(Для работы в парах.) Проиллюстрируйте с помощью кругов Эйлера соотношение между множествами A и B и найдите пересечение и объединение этих множеств, если
а) A — множество целых чисел, кратных 3, B — множество целых чисел, кратных 5
б) A — множество целых чисел, кратных 3, B — множество целых чисел, кратных 15.
Номер как в учебнике. Условие — полный пересказ редакции: те же пункты, числа и факты, не цитата из книги.
Пошаговое решение
План решения:
- Определим характер множеств A и B в каждом пункте.
- Проанализируем их взаимное расположение для построения диаграммы Эйлера (кругов).
- Найдем пересечение (A∩B) и объединение (A∪B), опираясь на свойства делимости чисел.
Решение пункта а)
Множество A состоит из целых чисел, кратных 3: …,-6,-3,0,3,6,9,12,15,…. Множество B состоит из целых чисел, кратных 5: …,-10,-5,0,5,10,15,20,….
Числа, которые делятся одновременно на 3 и на 5, должны делиться на их наименьшее общее кратное. Так как 3 и 5 — взаимно простые числа, то НОК(3;5)=15. Следовательно, общие элементы — это числа, кратные 15. Например, 0,15,-15,30 и т.д.
Так как существуют числа, кратные только 3 (например, 3, 6), и числа, кратные только 5 (например, 5, 10), множества не являются подмножествами друг друга, но имеют общую часть. На диаграмме Эйлера это два пересекающихся круга.
Пересечение A∩B — множество целых чисел, кратных 15. Объединение A∪B — множество целых чисел, кратных либо 3, либо 5.
Решение пункта б)
Множество A — целые числа, кратные 3. Множество B — целые числа, кратные 15.
Вспомним свойство делимости: если число делится на 15, то оно обязательно делится на любой делитель числа 15. Поскольку 15=3·5, любое число, кратное 15, автоматически кратно 3. Это значит, что каждый элемент множества B входит в множество A. Обратное неверно: число 3 кратно 3, но не кратно 15.
Следовательно, множество B является подмножеством множества A (B⊂A). На диаграмме Эйлера круг B полностью находится внутри круга A.
Пересечение двух множеств, где одно содержится в другом, равно меньшему множеству: A∩B=B (то есть множество целых чисел, кратных 15).
Объединение двух множеств, где одно содержится в другом, равно большему множеству: A∪B=A (то есть множество целых чисел, кратных 3).
Проверка:
Для пункта б): Возьмем число 30. Оно кратно 15, значит, принадлежит B. Оно также кратно 3, значит, принадлежит A. Пересечение содержит 30. Объединение содержит 30. Возьмем число 9. Оно кратно 3 (A), но не кратно 15 (B). Оно не входит в пересечение, но входит в объединение. Результаты совпадают с логикой подмножеств.
а) A∩B — числа, кратные 15; A∪B — числа, кратные 3 или 5. б) A∩B=B; A∪B=A
В пункте а) важно подчеркнуть, что пересечением являются числа, кратные НОК(3;5)=15. В пункте б) ключевой момент — понимание того, что кратность 15 подразумевает кратность 3, поэтому B является подмножеством A.
Как решение?
Двойная оценка: понятность и подробность. Можно выбрать одно или оба.
У вас другое условие?
Загрузите фото — учтём ваши числа и редакцию.
Частые вопросы
Это точный номер 906 из моего учебника?
Номер совпадает с учебником «Математика. Алгебра: 8-й класс: базовый уровень: учебник; 16-е издание, переработанное», Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.; под редакцией Теляковского С.А.. Формулировка — пересказ редакции, не дословная цитата. Если в вашей редакции другие числа — загрузите фото.
Какой ответ в задании 906?
Краткий ответ: а) A B — числа, кратные 15; A B — числа, кратные 3 или 5. б) A B = B; A B = A.
Как пользоваться этим разбором?
Сначала прочитайте условие и чертёж, затем шаги решения по порядку и сверьте свой ход с кратким ответом внизу.
Какой учебник имеется в виду?
«Математика. Алгебра: 8-й класс: базовый уровень: учебник; 16-е издание, переработанное», Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.; под редакцией Теляковского С.А.. Проверьте часть, год и автора на обложке. Тема в учебнике: § 35. Свойства числовых неравенств.
Можно ли списать ответ без решения?
Лучше сначала решить самостоятельно, а разбор использовать для проверки хода и поиска ошибки.