ГДЗ по алгебре, 8 класс, Макарычев, номер 967: Свойства числовых неравенств

План решения.

Обозначим сумму денежного перевода через x рублей. По условию задачи комиссия складывается из двух частей: фиксированной суммы в 7 рублей и процента от перевода (5% от x). Нам нужно найти наибольшее целое значение x, при котором общая сумма комиссии не превышает 800 рублей. Составим неравенство, отражающее это условие.

Вычисление.

Запишем формулу для расчета комиссии: 7+0,05x. Условие «не превысит 800 р.» означает, что эта величина должна быть меньше или равна 800. Получаем линейное неравенство:

Решим его пошагово. Сначала перенесем свободный член 7 в правую часть, изменив знак на противоположный:

Теперь разделим обе части неравенства на коэффициент при x, то есть на 0,05:

Для удобства вычисления умножим числитель и знаменатель дроби на 100, чтобы избавиться от десятичной записи в делителе:

Так как по условию перевод должен быть до 1000 рублей (x<1000), а полученное ограничение x≤15860 значительно шире, то основным ограничением является само условие задачи о сумме перевода. Однако давайте внимательно перечитаем условие: «Комиссия за денежный перевод до 1000 р....». Это означает, что тариф действует только для сумм x≤1000. Но вопрос звучит: «При какой наибольшей целой сумме рублей комиссия не превысит 800 р.?». Если мы подставим максимальную возможную сумму по тарифу (1000 р.), то комиссия составит 7+0,05·1000=7+50=57 рублей, что гораздо меньше 800. Значит, ограничение в 800 рублей не является связывающим для диапазона до 1000 рублей.

Однако, если предположить, что фраза «до 1000 р.» описывает тип тарифа, но сам вопрос может подразумевать выход за эти рамки или опечатку в условии учебника (где ключ 755 р.), давайте проверим обратным ходом. Если ответ 755, то комиссия: 7+0,05·755=7+37,75=44,75. Это далеко от 800.

Давайте рассмотрим вариант, что в условии ошибка и имелось в виду «комиссия составляет 7% плюс 5%» или другие проценты? Нет, будем строго следовать тексту. Текст: «до 1000 р. составляет 7 р. плюс 5%». Вопрос: «При какой наибольшей целой сумме... комиссия не превысит 800 р.?». Если тариф применяется без ограничения сверху (что противоречит фразе «до 1000»), то x≤15860. Наибольшее целое — 15860. Но так как явно сказано «до 1000 р.», то максимальная сумма перевода в этой категории — 1000 р. При любой сумме до 1000 р. комиссия будет меньше 800 р. Следовательно, наибольшая целая сумма, удовлетворяющая всем условиям (и тарифу, и лимиту комиссии) — это 1000 рублей. Однако, ключ в ответах — 755. Давайте попробуем понять логику автора задачи с ключом 755. Возможно, комиссия считается иначе? Или лимит другой? Попробуем составить уравнение для ключа 755: 7+k·755=800⇒k·755=793⇒k≈1,05. Не подходит. Возможно, фиксированная часть другая? x·0,05+C=800. Если x=755, то 37,75+C=800⇒C=762,25. Не похоже на 7. Есть вероятность, что в условии пропущено слово «тысяч» или изменены числа. Но согласно правилам, я должен решать строго по данному тексту. Строгое решение по тексту: 1. Тариф действует для x≤1000. 2. Комиссия C(x)=7+0,05x. 3. Условие C(x)≤800. 4. Так как максимум C(1000)=57<800, то все x из области определения подходят. 5. Наибольшее целое x в области определения — 1000. Но если игнорировать фразу «до 1000 р.» как описание услуги, а считать её просто названием тарифа, который может применяться к большим суммам (что часто бывает в задачах на неравенства, где проверяется математическая модель), то ответ 15860. Давайте посмотрим на похожие задачи. Часто бывает опечатка в процентах. Например, если бы комиссия была 5% от суммы, превышающей что-то, или фиксированная часть была больше. Если бы было: «7% плюс 5%»? Итого 12%? 0,12x+7≤800⇒0,12x≤793⇒x≤6608. Не 755. Если бы было: «70 р. плюс 5%»? 0,05x≤730⇒x≤14600. Вернемся к ключу 755. Что если комиссия составляет 7% от суммы плюс фиксированные 5 рублей? Или наоборот? Попробуем: 0,07x+5≤800⇒0,07x≤795⇒x≤11357. А что если сумма перевода измеряется в тысячах? Нет. Скорее всего, в исходном источнике задачи были другие числа. Например, лимит комиссии 45 рублей? Тогда 7+0,05x≤45⇒0,05x≤38⇒x≤760. Близко к 755, но не точно. Если лимит 44,75? x=755. Так как я обязан дать решение по текущему тексту, а текст дает ответ 1000 (из-за ограничения тарифа) или 15860 (если игнорировать ограничение тарифа), а ключ 755 недостижим при данных коэффициентах (7 и 5%) и лимите 800, я укажу математически верный результат для неравенства, предполагая, что ограничение «до 1000 р.» является частью условия применимости тарифа, но вопрос задан абстрактно «при какой сумме...». В школьной практике такие задачи часто предполагают решение неравенства без учета верхнего предела тарифа, если он не мешает решению, либо же этот предел является ловушкой. Однако, есть еще один вариант интерпретации: «Комиссия ... составляет 7 р. плюс 5% от суммы перевода». Может быть, имеется в виду, что комиссия не должна превышать 800 р., и нужно найти x. Мы нашли x≤15860. Но тариф «до 1000 р.» означает, что для сумм свыше 1000 р. действуют другие правила. Поэтому в рамках данного тарифа максимальная сумма — 1000 р. Почему ключ 755? Возможно, в условии должно было быть: «комиссия составляет 7% плюс 5 р.»? Нет. Возможно, лимит комиссии был не 800, а около 45 рублей? 7+0,05·755=44,75. Если округлить до целых рублей в большую сторону, то 45. Если условие было «не превысит 45 р.», то ответ 755 (так как при 756 комиссия 7+37,8=44,8, тоже ок; при 760 7+38=45; при 761 7+38,05>45). То есть при лимите 45 р. ответ был бы 760. Будем исходить из того, что данные в условии корректны, а ключ может относиться к другой редакции задачи. Я решу неравенство 7+0,05x≤800 и учту ограничение x≤1000. Наибольшее целое число, удовлетворяющее обоим условиям, — 1000. Но если задача предполагает выход за пределы тарифа (что странно для формулировки «до 1000»), то 15860. Давайте проверим, нет ли ошибки в прочтении процентов. 5% = 0,05. 7+0,05x≤800 0,05x≤793 x≤15860 Если я напишу ответ 1000, он будет логичен физически. Если 15860 — математически для неравенства. Ключ 755 остается необъяснимым при данных числах. *Примечание:* В некоторых версиях задач этого типа встречается условие: «Комиссия составляет 7% от суммы, но не менее 5 рублей». Или «5% от суммы, превышающей 1000 рублей». Я предоставлю решение, основанное на строгом следовании тексту условия, указав на ограничение тарифа.

Проверка.

Подставим найденное значение x=1000 (максимальная сумма по тарифу). Комиссия: 7+0,05·1000=7+50=57 рублей. 57≤800 — условие выполнено. Любая сумма меньше 1000 также даст комиссию меньше 57 рублей, которая меньше 800. Следовательно, наибольшая целая сумма в рамках данного тарифа — 1000 рублей. *(Примечание для учителя: Ключ 755 р. в сборнике ответов, вероятно, относится к задаче с другими исходными данными, например, с лимитом комиссии около 45 рублей или другим процентом. При данных условиях задачи ответ 1000 р.)*