ГДЗ по алгебре, 8 класс, Макарычев, номер 971: Свойства числовых неравенств

План решения:

Для графического решения уравнения 12/x=x² необходимо построить в одной системе координат графики двух функций: y₁=12/x и y₂=x². Абсциссы точек пересечения этих графиков будут являться корнями исходного уравнения.

Вычисление и построение:

1. Функция y₁=12/x является обратной пропорциональностью. Её график — гипербола, расположенная в I и III четвертях. Так как правая часть уравнения x² всегда неотрицательна (x²≥0), а левая 12/x должна быть равна ей, то значения функции должны быть положительными. Следовательно, нас интересует только ветвь гиперболы в I четверти (где x>0).

2. Функция y₂=x² — это парабола с вершиной в начале координат, ветви которой направлены вверх.

3. Найдём несколько характерных точек для построения:

• Для параболы y=x²: при x=1,y=1; при x=2,y=4; при x=3,y=9.
• Для гиперболы y=12/x: при x=1,y=12; при x=2,y=6; при x=3,y=4; при x=4,y=3.

Заметим, что при x=2 значение параболы равно 4, а гиперболы — 6. При x=3 значение параболы равно 9, а гиперболы — 4. Графики пересекаются где-то между x=2 и x=3. Однако давайте проверим целые числа точнее или решим алгебраически для уточнения графика. Умножим обе части на x (при x≠0): 12=x³. Отсюда x=312. Это число не является целым. Но в задачах на графическое решение часто подразумевается наличие «красивого» ответа или приближенное чтение по графику. Проверим точку x=2: 12/2=6, 2²=4. Не совпало. Проверим точку x=3: 12/3=4, 3²=9. Не совпало.

Перерисуем мысленно график точнее. Точка пересечения находится там, где кривые проходят через одну точку. Если мы посмотрим на таблицу значений, то увидим, что они меняются местами относительно друг друга между 2 и 3. Корень уравнения x³=12 равен приблизительно 2.29. В школьной практике таких задач иногда допускают ошибку в условии или ожидают ответ x=2 или x=3 если бы числа были другими (например, 8/x=x²⇒x=2). Но здесь строго по условию: x=312.

Однако, давайте внимательно посмотрим на типичные задачи этого уровня. Часто встречается уравнение вида 8/x=x² (ответ 2) или 27/x=x² (ответ 3). Для 12/x=x² точный ответ иррациональный. На графике мы отмечаем точку пересечения и определяем её абсциссу. По чертежу видно, что точка пересечения лежит правее x=2 и левее x=3.

Проверка:

Подставим найденное значение x=312 в исходное уравнение. Левая часть: 12/312=(312)³/312=(312)²=3144. Правая часть: (312)²=3144. Равенство верно. Таким образом, единственный корень уравнения — x=312.