ГДЗ по алгебре, 9 класс, Макарычев, номер 10: Действительные числа

План доказательства

Нам нужно показать, что множество рациональных чисел замкнуто относительно операций вычитания, умножения и деления (при условии, что делитель не равен нулю). Для этого воспользуемся определением рационального числа: число является рациональным, если его можно представить в виде дроби m/n, где m и n — целые числа, причём n≠0.

Вычисление и обоснование

Пусть у нас есть два произвольных рациональных числа a и b. По определению, их можно записать как:

где p,q,r,s — целые числа, а знаменатели q≠0 и s≠0.

1. Разность двух рациональных чисел:

Числитель ps-rq является результатом умножения и вычитания целых чисел, значит, он тоже целый. Знаменатель qs является произведением ненулевых целых чисел, значит, он целый и не равен нулю (qs≠0). Следовательно, разность a-b представима в виде отношения двух целых чисел с ненулевым знаменателем, то есть является рациональным числом.

2. Произведение двух рациональных чисел:

Числитель pr — произведение целых чисел, следовательно, оно целое. Знаменатель qs — произведение ненулевых целых чисел, следовательно, оно целое и не равно нулю. Таким образом, произведение a·b является рациональным числом.

3. Частное двух рациональных чисел (при b≠0):

Если b≠0, то числитель r в записи b=r/s также не равен нулю (так как знаменатель s≠0).

Числитель ps — произведение целых чисел, значит, целый. Знаменатель qr — произведение целого числа q (q≠0) и целого числа r (r≠0), значит, он целый и не равен нулю (qr≠0). Следовательно, частное a:b является рациональным числом.

Проверка и вывод

Мы показали, что для любых двух рациональных чисел результаты операций разности, произведения и частного (при ненулевом делителе) всегда можно представить в виде стандартной дроби с целым числителем и ненулевым целым знаменателем. Это полностью соответствует определению рационального числа. Утверждение доказано.