ГДЗ по алгебре, 9 класс, Макарычев, номер 103: Функции и их свойства

Чтобы доказать, что функция является чётной, необходимо проверить выполнение двух условий:Область определения функции симметрична относительно нуля (то есть если x входит в область определения, то и -x тоже).Для любого x из области определения выполняется равенство f(-x)=f(x). а) Функция f(x)=6-5x²+x⁴ 1. Область определения данной функции — все действительные числа (D(f)=R), так как выражение представляет собой многочлен. Множество действительных чисел симметрично относительно нуля.2. Подставим вместо аргумента x значение -x и упростим полученное выражение:f(-x)=6-5(-x)²+(-x)⁴Вспомним свойства степеней: (-x)²=x², а (-x)⁴=x⁴. Тогда:f(-x)=6-5x²+x⁴Мы видим, что полученное выражение совпадает с исходным определением функции f(x). Следовательно, f(-x)=f(x). Вывод по пункту а): Так как область определения симметрична и выполняется условие f(-x)=f(x), функция f(x)=6-5x²+x⁴ является чётной. б) Функция f(x)=5|x| 1. Область определения функции с модулем также равна множеству всех действительных чисел (D(f)=R), так как модуль можно вычислить для любого числа. Это множество симметрично относительно нуля.2. Проверим равенство f(-x)=f(x). Подставим -x в формулу:f(-x)=5|-x|По определению модуля число и его противоположное имеют одинаковый модуль, то есть |-x|=|x|. Поэтому:f(-x)=5|x|Полученное выражение идентично исходному f(x). Значит, f(-x)=f(x). Вывод по пункту б): Условия чётности выполнены, следовательно, функция f(x)=5|x| является чётной.