ГДЗ по алгебре, 9 класс, Макарычев, номер 113: Функции и их свойства

Для решения уравнений вида f(x)=g(x) с помощью графика функции y=x³, необходимо преобразовать каждое уравнение так, чтобы одна часть представляла собой кубическую функцию, а другая — линейную или постоянную. Затем мы находим точки пересечения графиков этих функций.

а) Уравнение x³=x+1

Рассмотрим две функции: y₁=x³ и y₂=x+1. Нам нужно найти абсциссы точек их пересечения.

• График y₁=x³ проходит через начало координат (0;0), точку (1;1) и (-1;-1).
• График y₂=x+1 — это прямая, проходящая через точки (0;1) и (-1;0).

Анализируя поведение функций:

1. При x=1: y₁(1)=1³=1, y₂(1)=1+1=2. Здесь y₁<y₂.
2. При x=2: y₁(2)=8, y₂(2)=3. Здесь y₁>y₂. Значит, корень находится между 1 и 2.
3. При x=-1: y₁(-1)=-1, y₂(-1)=0. Здесь y₁<y₂.
4. При x=0: y₁(0)=0, y₂(0)=1. Здесь y₁<y₂.

Так как функция y=x³ возрастает быстрее линейной функции при больших модулях x, и учитывая непрерывность, можно утверждать, что существует ровно один действительный корень. Точное значение корня выражается через формулу Кардано или приближенно. Приближенное значение: x≈1.325. Однако в школьном курсе часто требуется указать количество корней или найти целые корни, если они есть. Целых корней нет. Если задача подразумевает графическое решение с точностью до десятых, то ответ x≈1.3. Но давайте проверим другие пункты, возможно, там будут более "красивые" ответы.

Примечание: В контексте учебника 9 класса, если не даны таблицы значений, обычно ожидается либо нахождение целых корней (если они очевидны), либо указание интервала. Для пункта а) целый корень отсутствует. Корень единственный, x∈(1;2).

б) Уравнение x³=2x

Преобразуем уравнение к виду x³-2x=0 или рассматриваем пересечение y₁=x³ и y₂=2x.

1. Очевидный корень: x=0, так как 0³=0 и 2·0=0. Точка (0;0) лежит на обоих графиках.
2. Разделим обе части на x (при x≠0): x²=2.
3. Отсюда получаем два других корня: x=2 и x=-2.

Проверка по графику:

• Прямая y=2x проходит через (1;2) и (-1;-2).
• Кубическая парабола y=x³ проходит через (1;1) и (-1;-1).
• В точке x=1 прямая выше параболы (2>1). В точке x=2 парабола выше прямой (8>4). Значит, пересечение где-то между 1 и 2. Это соответствует x=2≈1.41.
• Симметрично для отрицательных чисел: пересечение при x=-2.

Ответ: x=0;x=2;x=-2.

в) Уравнение x³=2x+1

Рассматриваем пересечение y₁=x³ и y₂=2x+1.

1. Попробуем подставить целые значения:
2. x=-1: y₁(-1)=-1, y₂(-1)=2(-1)+1=-1. Совпадение! Значит, x=-1 является корнем.
3. x=0: y₁(0)=0, y₂(0)=1. Не совпадает.
4. x=1: y₁(1)=1, y₂(1)=3. Не совпадает.
5. x=2: y₁(2)=8, y₂(2)=5. Парабола выше прямой.

Так как x=-1 — корень, разложим многочлен x³-2x-1 на множители. Делим уголком или группировкой:

Теперь решаем квадратное уравнение x²-x-1=0:

Значит, остальные корни: x=1+5/2≈1.62 и x=1-5/2≈-0.62.

Проверка графически:

• Мы нашли три точки пересечения: одну с целой координатой x=-1 и две иррациональные.