ГДЗ по алгебре, 9 класс, Макарычев, номер 117: Квадратичная функция и её график

План решения.

В задаче дано неравенство 3<x<4, где x — точное значение расхода бензина. Нам нужно найти точность приближённого значения для трёх случаев. Точность приближения определяется как максимальная возможная абсолютная погрешность, то есть наибольшее расстояние от выбранного приближённого значения до любого числа из интервала (3;4). Формально, если приближённое значение равно a, а истинное значение лежит в интервале (m;M), то точность β равна максимуму из расстояний до концов интервала: β=M-m/2 (если a — середина) или β=M+m/2-a и β=a-M+m/2... Проще говоря, мы ищем такое число β, что |x-a|textlessβ для всех xtextless4 и x>3. Максимальная ошибка возникает на границах интервала.

Вычисление по пунктам.

а) Приближённое значение a=3 л. Расстояние от 3 до верхней границы 4 равно 4-3=1. Расстояние до нижней границы (которая не включается, но является пределом) стремится к 0. Таким образом, максимальная возможная ошибка составляет чуть менее 1 литра. В школьной практике, когда говорят о точности округления «вниз» до целого числа при условии 3<x<4, обычно указывают величину, гарантирующую, что ошибка не превысит этого значения. Однако строго говоря, если мы берём 3 как приближение, то разность x-3 может быть сколь угодно близка к 1. Часто в таких задачах под точностью понимают половину длины интервала, если значение взято посередине, или расстояние до дальней границы. Давайте посмотрим на стандартное определение: точность β такая, что |x-a|textlessβ. Для a=3 и xtextless4, имеем x-3textless1. Значит, можно сказать, что точность равна 1 л (или точнее, погрешность меньше 1 л). Но давайте сравним с другими вариантами. Если принять a=3, то максимальная ошибка близка к 1.

б) Приближённое значение a=4 л. Аналогично, 4-xtextless1 (так как x>3). Максимальная ошибка также близка к 1 л.

в) Приближённое значение a=3+4/2=3.5 л. Здесь мы находимся ровно посередине интервала. Максимальное отклонение до любой границы (3 или 4) равно половине длины интервала: β=4-3/2=0.5 л .

Проверка и уточнение формулировки.

В учебниках алгебры 9 класса под «точностью приближённого значения» часто подразумевается величина β, такая что модуль разности между точным и приближённым значением меньше этой величины. Для пункта а): |x-3|textless1. Точность 1 л. Для пункта б): |x-4|textless1. Точность 1 л. Для пункта в): |x-3.5|textless0.5. Точность 0.5 л. Иногда в задачах такого типа спрашивают, какая точность достигается. Очевидно, что среднее арифметическое даёт наилучшую точность среди предложенных вариантов. Ответы будут выражены в литрах.