ГДЗ по алгебре, 9 класс, Макарычев, номер 132: Квадратичная функция и её график

Для сокращения алгебраических дробей необходимо разложить числитель и знаменатель на множители. Если в них есть общие множители, их можно сократить.

Пункт а)

Дана дробь: 2a-1/10a²-a-2

Числитель 2a-1 уже является линейным множителем. Разложим квадратный трёхчлен в знаменателе 10a²-a-2. Найдём корни уравнения 10a²-a-2=0:

• Дискриминант: D=(-1)²-4·10·(-2)=1+80=81.
• Корни: a₁=1-9/20=-8/20=-2/5, a₂=1+9/20=10/20=1/2.

Используя формулу разложения ax²+bx+c=a(x-x₁)(x-x₂), получаем:

10a²-a-2=10(a+2/5)(a-1/2)=(5a+2)(2a-1)

Подставим разложенный знаменатель в исходную дробь:

2a-1/(5a+2)(2a-1)

Сокращаем общий множитель (2a-1) при условии 2a-1≠0:

1/5a+2

Пункт б)

Дана дробь: 6a²-5a+1/1-4a²

Разложим числитель 6a²-5a+1. Найдём корни уравнения 6a²-5a+1=0:

• Дискриминант: D=(-5)²-4·6·1=25-24=1.
• Корни: a₁=5-1/12=4/12=1/3, a₂=5+1/12=6/12=1/2.

Разложение числителя:

6a²-5a+1=6(a-1/3)(a-1/2)=(3a-1)(2a-1)

Знаменатель 1-4a² раскладывается по формуле разности квадратов:

1-4a²=(1-2a)(1+2a)

Запишем дробь с разложенными частями:

(3a-1)(2a-1)/(1-2a)(1+2a)

Обратим внимание на множители (2a-1) и (1-2a). Они являются противоположными числами, то есть 2a-1=-(1-2a). Вынесем минус из одного из множителей, чтобы получить одинаковые выражения для сокращения:

(3a-1)·[-(1-2a)]/(1-2a)(1+2a)=-(3a-1)/1+2a=1-3a/2a+1

Сокращаем общий множитель (1-2a) при условии 1-2a≠0.