ГДЗ по алгебре, 9 класс, Макарычев, номер 172: Квадратичная функция и её график
Математика. Алгебра: 9-й класс: базовый уровень: учебник; 15-е издание, переработанное — Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.; под редакцией Теляковского С.А.
Екатерина Новикова, редактор алгебраических разборов Шпаргача обновлено 11 сентября 2026
Условие
Построить график функции y = (3x-2)/(x-2). Найти нули функции и промежутки знакопостоянства.
Номер как в учебнике. Условие — полный пересказ редакции: те же пункты, числа и факты, не цитата из книги.
Пошаговое решение
План решения:
- Найдём область определения функции и упростим выражение для построения графика.
- Определим нули функции (точки пересечения с осью Ox).
- Исследуем знак функции на промежутках области определения.
- Опишем вид графика (гипербола).
1. Область определения и преобразование формулы
Функция задана формулой y=3x-2/x-2. Знаменатель не может быть равен нулю, поэтому x-2≠0⇒x≠2. Область определения: D(y)=(-∞;2)∪(2;+∞).
Чтобы построить график, выделим целую часть дроби. Для этого представим числитель через знаменатель: 3x-2=3(x-2)+6-2=3(x-2)+4. Тогда функция примет вид: y=3(x-2)+4/x-2=3+4/x-2. Это уравнение гиперболы, полученной из базовой функции y=4/x параллельным переносом на 2 единицы вправо и на 3 единицы вверх.
2. Нули функции
Нули функции — это значения x, при которых y=0. Приравняем числитель исходной дроби к нулю (так как дробь равна нулю только тогда, когда её числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю): 3x-2=0, 3x=2, x=2/3. Проверим, входит ли это значение в область определения: 2/3≠2, значит, корень подходит. Таким образом, единственный ноль функции: x=2/3.
3. Промежутки знакопостоянства
Знак функции определяется знаком выражения y=3x-2/x-2. Критическими точками являются ноль числителя (x=2/3) и точка разрыва знаменателя (x=2). Эти точки разбивают числовую прямую на три интервала: (-∞;2/3), (2/3;2) и (2;+∞).
| Интервал | Знак 3x-2 | Знак x-2 | Знак y |
|---|---|---|---|
| x<2/3 | - | - | + |
| 2/3<x<2 | + | - | - |
| x>2 | + | + | + |
Следовательно:
- y>0 при x∈(-∞;2/3)∪(2;+∞);
- y<0 при x∈(2/3;2).
4. Построение графика
Графиком является гипербола с асимптотами x=2 (вертикальная) и y=3 (горизонтальная). Ветви гиперболы расположены так, что при x>2 ветвь находится выше асимптоты y=3 (так как 4/x-2>0), а при x<2 ветвь находится ниже асимптоты y=3 (так как 4/x-2<0). Ключевые точки для построения:
- Пересечение с осью Ox: (2/3;0).
- Пересечение с осью Oy: подставим x=0, получим y=-2/-2=1. Точка (0;1).
- Дополнительная точка: пусть x=3, тогда y=9-2/3-2=7. Точка (3;7).
- Дополнительная точка: пусть x=1, тогда y=3-2/1-2=-1. Точка (1;-1).
а) График: гипербола с асимптотами x=2,y=3.
б) Нуль функции: x=2/3.
в) y>0 при x∈(-∞;2/3)∪(2;+∞); y<0 при x∈(2/3;2).
Задача требует комплексного анализа рациональной функции. Важно правильно выделить целую часть для понимания геометрии графика (перенос гиперболы). Знакопостоянство проверяется методом интервалов. Ответ дан в структурированном виде.
Как решение?
Двойная оценка: понятность и подробность. Можно выбрать одно или оба.
У вас другое условие?
Загрузите фото — учтём ваши числа и редакцию.
Частые вопросы
Это точный номер 172 из моего учебника?
Номер совпадает с учебником «Математика. Алгебра: 9-й класс: базовый уровень: учебник; 15-е издание, переработанное», Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.; под редакцией Теляковского С.А.. Формулировка — пересказ редакции, не дословная цитата. Если в вашей редакции другие числа — загрузите фото.
Какой ответ в задании 172?
Краткий ответ: а) График: гипербола с асимптотами x=2, y=3. б) Нуль функции: x = 23. в) y > 0 при x (-∞; 23) (2; +∞); y < 0 при x ( 23; 2).
Как пользоваться этим разбором?
Сначала прочитайте условие и чертёж, затем шаги решения по порядку и сверьте свой ход с кратким ответом внизу.
Какой учебник имеется в виду?
«Математика. Алгебра: 9-й класс: базовый уровень: учебник; 15-е издание, переработанное», Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.; под редакцией Теляковского С.А.. Проверьте часть, год и автора на обложке. Тема в учебнике: § 4. Квадратичная функция и её график.
Можно ли списать ответ без решения?
Лучше сначала решить самостоятельно, а разбор использовать для проверки хода и поиска ошибки.