ГДЗ по алгебре, 9 класс, Макарычев, номер 174: Квадратичная функция и её график
Математика. Алгебра: 9-й класс: базовый уровень: учебник; 15-е издание, переработанное — Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.; под редакцией Теляковского С.А.
Мария Волкова, редактор алгебраических разборов Шпаргача обновлено 11 сентября 2026
Условие
Доказать, что графику функции y = (2x+5)/(x-3) принадлежат лишь две точки, у которых и абсцисса, и ордината — натуральные числа. Найти координаты этих точек.
Номер как в учебнике. Условие — полный пересказ редакции: те же пункты, числа и факты, не цитата из книги.
Пошаговое решение
Для решения задачи нам нужно найти все пары натуральных чисел (x;y), удовлетворяющие уравнению функции y=2x+5/x-3. Поскольку x и y — натуральные числа (N), то x≥1 и y≥1. Также знаменатель не может быть равен нулю, значит x≠3.
План действий:
- Выразим y через x, выделив целую часть дроби, чтобы упростить анализ делимости.
- Используем условие натуральности y для ограничения возможных значений x.
- Проверим полученные значения на соответствие условию задачи.
Вычисление:
Преобразуем выражение для y, чтобы отделить целую часть. Для этого представим числитель так, чтобы он содержал множитель (x-3):
y=2x+5/x-3=2(x-3)+6+5/x-3=2(x-3)+11/x-3=2+11/x-3Так как y должно быть натуральным числом, а 2 уже является целым числом, то дробь 11/x-3 должна быть целым числом. Это означает, что разность (x-3) должна быть делителем числа 11.
Число 11 является простым, поэтому его целые делители: 1,-1,11,-11.
Рассмотрим каждый случай отдельно, помня, что x должно быть натуральным числом (x∈N,x≥1):
- Случай 1: x-3=1⇒x=4.
Подставим в формулу: y=2+11/1=13.
Точка (4;13). Оба числа натуральные. Подходит. - Случай 2: x-3=11⇒x=14.
Подставим в формулу: y=2+11/11=2+1=3.
Точка (14;3). Оба числа натуральные. Подходит. - Случай 3: x-3=-1⇒x=2.
Подставим в формулу: y=2+11/-1=2-11=-9.
Число -9 не является натуральным. Не подходит. - Случай 4: x-3=-11⇒x=-8.
Число -8 не является натуральным. Не подходит.
Проверка:
Проверим найденные точки подстановкой в исходное уравнение y=2x+5/x-3:
| Точка (x;y) | Расчет правой части | Равенство y=…? |
|---|---|---|
| (4;13) | 2(4)+5/4-3=8+5/1=13 | Да, 13=13 |
| (14;3) | 2(14)+5/14-3=28+5/11=33/11=3 | Да, 3=3 |
Других делителей у числа 11 нет, следовательно, других вариантов для целого значения дроби не существует. Мы доказали, что только две точки с натуральными координатами принадлежат графику данной функции.
а) Точки (4; 13)
б) Точка (14; 3)
Задача сводится к исследованию диофантова уравнения или просто к анализу делимости после выделения целой части. Ключевой момент — понимание того, что для получения натурального y при натуральном x, остаток от деления должен быть таким, чтобы вся дробь была целой и положительной (или давала положительное целое после сложения с 2). Отрицательные делители дают отрицательные y или отрицательные x, что отсекается условием натуральности.
Как решение?
Двойная оценка: понятность и подробность. Можно выбрать одно или оба.
У вас другое условие?
Загрузите фото — учтём ваши числа и редакцию.
Частые вопросы
Это точный номер 174 из моего учебника?
Номер совпадает с учебником «Математика. Алгебра: 9-й класс: базовый уровень: учебник; 15-е издание, переработанное», Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.; под редакцией Теляковского С.А.. Формулировка — пересказ редакции, не дословная цитата. Если в вашей редакции другие числа — загрузите фото.
Какой ответ в задании 174?
Краткий ответ: а) Точки (4; 13) б) Точка (14; 3).
Как пользоваться этим разбором?
Сначала прочитайте условие и чертёж, затем шаги решения по порядку и сверьте свой ход с кратким ответом внизу.
Какой учебник имеется в виду?
«Математика. Алгебра: 9-й класс: базовый уровень: учебник; 15-е издание, переработанное», Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.; под редакцией Теляковского С.А.. Проверьте часть, год и автора на обложке. Тема в учебнике: § 4. Квадратичная функция и её график.
Можно ли списать ответ без решения?
Лучше сначала решить самостоятельно, а разбор использовать для проверки хода и поиска ошибки.