ГДЗ по алгебре, 9 класс, Макарычев, номер 187: функции

Для доказательства этих утверждений воспользуемся определениями чётной и нечётной функций. Пусть f(x) и g(x) — две функции, определённые на симметричном множестве (например, на всей числовой прямой или на промежутке [-a;a]).

Определения:

• Функция f(x) называется чётной , если для любого x из области определения выполняется равенство f(-x)=f(x).
• Функция f(x) называется нечётной , если для любого x из области определения выполняется равенство f(-x)=-f(x).

а) Произведение двух чётных функций является чётной функцией.

Пусть h(x)=f(x)·g(x), где f(x) и g(x) — чётные функции. Нам нужно проверить, верно ли равенство h(-x)=h(x).

h(-x)=f(-x)·g(-x) Так как f и g чётные, то f(-x)=f(x) и g(-x)=g(x). Подставим эти значения:

h(-x)=f(x)·g(x)=h(x) Получили, что h(-x)=h(x), следовательно, произведение двух чётных функций — функция чётная. Утверждение доказано.

б) Произведение двух нечётных функций является чётной функцией.

Пусть h(x)=f(x)·g(x), где f(x) и g(x) — нечётные функции. Проверим значение функции в точке -x:

h(-x)=f(-x)·g(-x) Так как f и g нечётные, то f(-x)=-f(x) и g(-x)=-g(x). Подставим:

h(-x)=(-f(x))·(-g(x)) Произведение двух отрицательных чисел положительно:

h(-x)=f(x)·g(x)=h(x) Получили, что h(-x)=h(x), следовательно, произведение двух нечётных функций — функция чётная. Утверждение доказано.

в) Произведение чётной и нечётной функций является нечётной функцией.

Пусть h(x)=f(x)·g(x), где f(x) — чётная функция, а g(x) — нечётная функция. Вычислим h(-x):

h(-x)=f(-x)·g(-x) Используем свойства: f(-x)=f(x) (так как f чётная) и g(-x)=-g(x) (так как g нечётная):

h(-x)=f(x)·(-g(x))=-(f(x)·g(x))=-h(x) Получили, что h(-x)=-h(x), следовательно, произведение чётной и нечётной функций — функция нечётная. Утверждение доказано.