ГДЗ по алгебре, 9 класс, Макарычев, номер 193: функции

План решения:

Функция y=ax² является квадратичной. Область значений такой функции зависит от знака коэффициента a и вершины параболы. Так как x²≥0 для любого действительного x, то знак значения функции определяется знаком множителя a. Нам нужно подобрать такие a, чтобы множество всех возможных значений y совпадало с заданными промежутками.

Вычисление:

а) Требуется, чтобы областью значений был промежуток [0;+∞). Это означает, что все значения функции должны быть неотрицательными (y≥0), и функция должна принимать значение 0 (при x=0).

• Если a>0, то ветви параболы направлены вверх, минимум достигается в точке (0;0), и область значений будет [0;+∞). Это подходит.
• Если a<0, то ветви направлены вниз, максимум равен 0, а остальные значения отрицательны. Область значений будет (-∞;0]. Это не подходит.
• Если a=0, то функция превращается в константу y=0. Её область значений — это множество из одного числа {0}, а не промежуток [0;+∞). Поэтому a=0 не подходит.

Таким образом, для пункта а) необходимо условие a>0.

б) Требуется, чтобы областью значений был промежуток (-∞;0]. Это означает, что все значения функции должны быть неположительными (y≤0), и функция должна принимать значение 0.

• Если a<0, то ветви параболы направлены вниз, максимум достигается в точке (0;0), и область значений будет (-∞;0]. Это подходит.
• Если a>0, то область значений [0;+∞). Не подходит.
• Если a=0, то область значений {0}. Не подходит.

Таким образом, для пункта б) необходимо условие a<0.

Проверка:

Подставим примерные значения. Для а) пусть a=1, тогда y=x². При x∈R, y∈[0;+∞). Верно. Для б) пусть a=-1, тогда y=-x². При x∈R, y∈(-∞;0]. Верно. Случай a=0 исключен, так как он дает вырожденную область значений, не являющуюся бесконечным промежутком.