9 класс Уравнения с одной переменной § 5. Уравнения с одной переменной

ГДЗ по алгебре, 9 класс, Макарычев, номер 219: Уравнения с одной переменной

Математика. Алгебра: 9-й класс: базовый уровень: учебник; 15-е издание, переработанное — Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.; под редакцией Теляковского С.А.

Анна Соколова, методист по алгебре Шпаргача обновлено 11 сентября 2026

← 218 220 →

Условие

Решите уравнение

а) x³+7x²-6=0

б) x³+4x²-5=0.

Номер как в учебнике. Условие — полный пересказ редакции: те же пункты, числа и факты, не цитата из книги.

Пошаговое решение

Для решения кубических уравнений вида x³+ax²+b=0 (где отсутствует линейный член) удобно использовать метод разложения на множители. Сначала подберём целый корень среди делителей свободного члена, а затем разделим многочлен на (x-x₀).

а) Решим уравнение x³+7x²-6=0

Проверим возможные целые корни: делители числа -6 это ext±1, ext±2, ext±3, ext±6.
- P(1)=1+7-6=2≠0
- P(-1)=(-1)³+7(-1)²-6=-1+7-6=0. Значит, x=-1 является корнем.
Разложим левую часть на множители. Так как x=-1 — корень, то многочлен делится на (x+1). Выполним деление или сгруппируем слагаемые: x³+7x²-6=x³+x²+6x²-6=x²(x+1)+6(x²-1) Это не совсем удобно для группировки напрямую к квадратному трёхчлену без остатка. Лучше воспользуемся схемой Горнера или вынесением: x³+7x²-6=(x+1)(x²+6x-6) Проверка раскрытия скобок: x(x²+6x-6)+1(x²+6x-6)=x³+6x²-6x+x²+6x-6=x³+7x²-6. Верно.
Решаем произведение равное нулю: x+1=0 или x²+6x-6=0 Из первого уравнения: x₁=-1. Для второго уравнения найдём дискриминант: D=6²-4·1·(-6)=36+24=60 Корни квадратного уравнения: x_2,3=-6±60/2=-6±215/2=-3±15

Ответ для пункта а): -1;-3-15;-3+15.

б) Решим уравнение x³+4x²-5=0

Подберём целый корень из делителей свободного члена -5: ext±1, ext±5.
- P(1)=1³+4(1)²-5=1+4-5=0. Значит, x=1 является корнем.
Разложим многочлен на множители. Делим x³+4x²-5 на (x-1): x³+4x²-5=(x-1)(x²+5x+5) Проверка: (x-1)(x²+5x+5)=x³+5x²+5x-x²-5x-5=x³+4x²-5. Верно.
Решаем произведение равное нулю: x-1=0 или x²+5x+5=0 Из первого уравнения: x₁=1. Для второго уравнения найдём дискриминант: D=5²-4·1·5=25-20=5 Корни квадратного уравнения: x_2,3=-5±5/2=-2,5±5/2 Заметим, что 5/2=5/4=1,25. Тогда корни можно записать как -2,5±1,25.

Ответ для пункта б): 1;-2,5-1,25;-2,5+1,25.

Ответ

а) -1; -3-15; -3+15

б) 1; -2,5-1,25; -2,5+1,25

В пункте а) ключ содержит только иррациональные корни, но явный целый корень x=-1 также является решением. В решении приведены все три корня. В пункте б) ключ использует десятичные дроби внутри корня (√1,25), что эквивалентно √5/2. Решение дано в стандартном виде.

Как решение?

Двойная оценка: понятность и подробность. Можно выбрать одно или оба.

Подробность

У вас другое условие?

Загрузите фото — учтём ваши числа и редакцию.

Решить по фото

Частые вопросы

Это точный номер 219 из моего учебника?

Номер совпадает с учебником «Математика. Алгебра: 9-й класс: базовый уровень: учебник; 15-е издание, переработанное», Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.; под редакцией Теляковского С.А.. Формулировка — пересказ редакции, не дословная цитата. Если в вашей редакции другие числа — загрузите фото.

Какой ответ в задании 219?

Краткий ответ: а) -1; -3 - √15; -3 + √15 б) 1; -2,5 - √1,25; -2,5 + √1,25.

Как пользоваться этим разбором?

Сначала прочитайте условие и чертёж, затем шаги решения по порядку и сверьте свой ход с кратким ответом внизу.

Какой учебник имеется в виду?

«Математика. Алгебра: 9-й класс: базовый уровень: учебник; 15-е издание, переработанное», Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.; под редакцией Теляковского С.А.. Проверьте часть, год и автора на обложке. Тема в учебнике: § 5. Уравнения с одной переменной.

Можно ли списать ответ без решения?

Лучше сначала решить самостоятельно, а разбор использовать для проверки хода и поиска ошибки.