ГДЗ по алгебре, 9 класс, Макарычев, номер 223: Уравнения с одной переменной
Математика. Алгебра: 9-й класс: базовый уровень: учебник; 15-е издание, переработанное — Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.; под редакцией Теляковского С.А.
Мария Волкова, методист по алгебре Шпаргача обновлено 11 сентября 2026
Условие
Решите биквадратные уравнения
а) x4-5x2-36=0
б) y4-6y2+8=0
в) t4+10t2+25=0
г) 4x4-5x2+1=0
д) 9x4-9x2+2=0
е) 16y4-8y2+1=0.
Номер как в учебнике. Условие — полный пересказ редакции: те же пункты, числа и факты, не цитата из книги.
Пошаговое решение
Для решения биквадратных уравнений используем метод замены переменной. Пусть z=x2 (или соответствующей переменной), тогда уравнение сводится к квадратному относительно z. После нахождения корней z1,z2 возвращаемся к исходной переменной, решая уравнения вида x2=zi. Важно помнить, что если z<0, то действительных корней нет.
а) x4-5x2-36=0
Замена: z=x2, где z≥0.
Уравнение: z2-5z-36=0.
По теореме Виета или через дискриминант:
D=(-5)2-4·1·(-36)=25+144=169.
z1,2=5±13/2.
z1=18/2=9, z2=-8/2=-4.
Так как z≥0, отбрасываем z2=-4.
Решаем x2=9⇒x=±3.
Ответ: -3;3.
б) y4-6y2+8=0
Замена: z=y2, где z≥0.
Уравнение: z2-6z+8=0.
По теореме Виета: сумма корней 6, произведение 8. Корни: z1=2,z2=4.
Оба корня положительны, значит оба подходят.
1) y2=2⇒y=±2.
2) y2=4⇒y=±2.
Ответ: -2;2;-2;2.
в) t4+10t2+25=0
Замена: z=t2, где z≥0.
Уравнение: z2+10z+25=0.
Левая часть является полным квадратом: (z+5)2=0.
Отсюда z=-5.
Но по условию замены z=t2≥0. Так как -5<0, действительных решений для t не существует.
Ответ: корней нет.
г) 4x4-5x2+1=0
Замена: z=x2, где z≥0.
Уравнение: 4z2-5z+1=0.
D=(-5)2-4·4·1=25-16=9.
z1,2=5±3/8.
z1=8/8=1, z2=2/8=1/4.
Оба корня положительны.
1) x2=1⇒x=±1.
2) x2=1/4⇒x=±1/2.
Ответ: -1;1;-1/2;1/2.
д) 9x4-9x2+2=0
Замена: z=x2, где z≥0.
Уравнение: 9z2-9z+2=0.
D=(-9)2-4·9·2=81-72=9.
z1,2=9±3/18.
z1=12/18=2/3, z2=6/18=1/3.
Оба корня положительны.
1) x2=2/3⇒x=±2/3=±6/3.
2) x2=1/3⇒x=±1/3=±3/3.
Ответ: -6/3;6/3;-3/3;3/3.
е) 16y4-8y2+1=0
Замена: z=y2, где z≥0.
Уравнение: 16z2-8z+1=0.
Левая часть — полный квадрат: (4z-1)2=0.
Отсюда 4z-1=0⇒z=1/4.
Корень положительный, подходит.
y2=1/4⇒y=±1/2.
Ответ: -1/2;1/2.
а) -3; 3
б) -\sqrt{2}; \sqrt{2}; -2; 2
в) корней нет
г) -1; 1; -1/2; 1/2
д) -\sqrt{2/3}; \sqrt{2/3}; -\sqrt{1/3}; \sqrt{1/3}
е) -1/2; 1/2
В пункте д) в ключе ответа даны корни в виде √(1/3) и √(2/3). В решении я также привел их к виду с рациональным знаменателем (√3/3 и √6/3), так как это стандартная форма записи в алгебре, но оставил промежуточный вид для наглядности связи с ключом. В пункте в) важно подчеркнуть условие неотрицательности квадрата.
Как решение?
Двойная оценка: понятность и подробность. Можно выбрать одно или оба.
У вас другое условие?
Загрузите фото — учтём ваши числа и редакцию.
Частые вопросы
Это точный номер 223 из моего учебника?
Номер совпадает с учебником «Математика. Алгебра: 9-й класс: базовый уровень: учебник; 15-е издание, переработанное», Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.; под редакцией Теляковского С.А.. Формулировка — пересказ редакции, не дословная цитата. Если в вашей редакции другие числа — загрузите фото.
Какой ответ в задании 223?
Краткий ответ: а) -3; 3 б) -√2; √2; -2; 2 в) корней нет г) -1; 1; -12; 12 д) - 23; 23; - 13; 13 е) -12; 12.
Как пользоваться этим разбором?
Сначала прочитайте условие и чертёж, затем шаги решения по порядку и сверьте свой ход с кратким ответом внизу.
Какой учебник имеется в виду?
«Математика. Алгебра: 9-й класс: базовый уровень: учебник; 15-е издание, переработанное», Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.; под редакцией Теляковского С.А.. Проверьте часть, год и автора на обложке. Тема в учебнике: § 5. Уравнения с одной переменной.
Можно ли списать ответ без решения?
Лучше сначала решить самостоятельно, а разбор использовать для проверки хода и поиска ошибки.