ГДЗ по алгебре, 9 класс, Макарычев, номер 221: Уравнения с одной переменной
Математика. Алгебра: 9-й класс: базовый уровень: учебник; 15-е издание, переработанное — Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.; под редакцией Теляковского С.А.
Артём Савельев, методист по алгебре Шпаргача обновлено 11 сентября 2026
Условие
Решите уравнение, используя введение новой переменной
а) (2x2+3)2-12(2x2+3)+11=0
б) (t2-2t)2-3=2(t2-2t)
в) (x^2 + x-1)(x2+x+2)=40
г) (2x^2 + x-1)(2x2+x-4)+2=0.
Номер как в учебнике. Условие — полный пересказ редакции: те же пункты, числа и факты, не цитата из книги.
Пошаговое решение
В данном задании мы решаем биквадратные и сводящиеся к квадратным уравнения методом введения новой переменной. Этот метод позволяет упростить структуру уравнения, заменив повторяющееся выражение на одну букву.
а) (2x2+3)2-12(2x2+3)+11=0
- План: Заметим, что выражение 2x2+3 входит в уравнение дважды. Введем новую переменную y=2x2+3. Тогда исходное уравнение примет вид квадратного относительно y: y2-12y+11=0.
- Вычисление: Решим полученное квадратное уравнение. По теореме Виета или через дискриминант найдем корни: D=(-12)2-4·1·11=144-44=100 y1,2=12±10/2 y1=22/2=11, y2=2/2=1 Теперь вернемся к переменной x, подставив значения y в выражение y=2x2+3. 1) Если y1=11, то 2x2+3=11⇒2x2=8⇒x2=4⇒x=±2. 2) Если y2=1, то 2x2+3=1⇒2x2=-2⇒x2=-1. Это уравнение не имеет действительных корней.
- Проверка: Подставим найденные корни x=2 и x=-2 в исходное уравнение. Так как x входит только в четной степени (x2), проверка для одного корня достаточна для обоих. При x=2: 2(2)2+3=11. Левая часть: 112-12(11)+11=121-132+11=0. Верно.
б) (t2-2t)2-3=2(t2-2t)
- План: Перенесем все слагаемые в левую часть: (t2-2t)2-2(t2-2t)-3=0. Введем замену u=t2-2t. Уравнение станет: u2-2u-3=0.
- Вычисление: Найдем корни уравнения относительно u. Дискриминант: D=(-2)2-4·1·(-3)=4+12=16 u1,2=2±4/2 u1=3, u2=-1 Вернемся к переменной t. 1) Если u1=3, то t2-2t=3⇒t2-2t-3=0. Корни этого уравнения (по теореме Виета): t1=3,t2=-1. 2) Если u2=-1, то t2-2t=-1⇒t2-2t+1=0⇒(t-1)2=0⇒t3=1.
- Проверка: Проверим корень t=1. t2-2t=1-2=-1. Исходное уравнение: (-1)2-3=2(-1)⇒1-3=-2⇒-2=-2. Верно. Аналогично проверяются остальные корни.
в) (x2+x-1)(x2+x+2)=40
- План: Заметим разность между множителями: (x2+x+2)-(x2+x-1)=3. Удобно ввести замену так, чтобы выразить оба множителя через одну переменную. Пусть v=x2+x. Тогда уравнение примет вид: (v-1)(v+2)=40.
- Вычисление: Раскроем скобки: v2+2v-v-2=40 v2+v-42=0 Найдем корни по теореме Виета: сумма корней -1, произведение -42. Корни: v1=6,v2=-7. Вернемся к x. 1) Если v1=6, то x2+x=6⇒x2+x-6=0. Корни: x1=2,x2=-3. 2) Если v2=-7, то x2+x=-7⇒x2+x+7=0. Дискриминант D=12-4·7=1-28=-27<0. Действительных корней нет.
- Проверка: Для x=2: (4+2-1)(4+2+2)=5·8=40. Верно. Для x=-3: (9-3-1)(9-3+2)=5·8=40. Верно.
г) (2x2+x-1)(2x2+x-4)+2=0
- План: Здесь также есть общее выражение 2x2+x. Однако проще заметить, что разность множителей равна 3. Пусть w=2x2+x-1. Тогда второй множитель равен w-3. Уравнение примет вид: w(w-3)+2=0.
- Вычисление: Раскроем скобки: w2-3w+2=0 Корни по теореме Виета: w1=1,w2=2. Вернемся к x. 1) Если w1=1, то 2x2+x-1=1⇒2x2+x-2=0. D=12-4·2·(-2)=1+16=17 x1,2=-1±17/4 2) Если w2=2, то 2x2+x-1=2⇒2x2+x-3=0. D=12-4·2·(-3)=1+24=25 x3,4=-1±5/4 x3=4/4=1, x4=-6/4=-1.5
- Проверка: Проверим целый корень x=1. 2(1)2+1-1=2, 2(1)2+1-4=-1. Произведение 2·(-1)+2=0. Верно. Остальные корни являются иррациональными, их точная проверка громоздка, но алгебраические преобразования выполнены верно.
а) -2; 2
б) -1; 1; 3
в) -3; 2
г) -1,5; 1; (-/1-17); (-/1+17)
Во всех пунктах использован метод замены переменной. Важно после нахождения значений вспомогательной переменной обязательно вернуться к исходной и решить полученные квадратные уравнения. В пунктах а) и в) одно из значений вспомогательной переменной приводило к уравнению без действительных корней (отрицательный дискриминант или отрицательный квадрат). В пункте г) получены два рациональных и два иррациональных корня.
Как решение?
Двойная оценка: понятность и подробность. Можно выбрать одно или оба.
У вас другое условие?
Загрузите фото — учтём ваши числа и редакцию.
Частые вопросы
Это точный номер 221 из моего учебника?
Номер совпадает с учебником «Математика. Алгебра: 9-й класс: базовый уровень: учебник; 15-е издание, переработанное», Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.; под редакцией Теляковского С.А.. Формулировка — пересказ редакции, не дословная цитата. Если в вашей редакции другие числа — загрузите фото.
Какой ответ в задании 221?
Краткий ответ: а) -2; 2 б) -1; 1; 3 в) -3; 2 г) -1,5; 1; (-1 - √17)4; (-1 + √17)4.
Как пользоваться этим разбором?
Сначала прочитайте условие и чертёж, затем шаги решения по порядку и сверьте свой ход с кратким ответом внизу.
Какой учебник имеется в виду?
«Математика. Алгебра: 9-й класс: базовый уровень: учебник; 15-е издание, переработанное», Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.; под редакцией Теляковского С.А.. Проверьте часть, год и автора на обложке. Тема в учебнике: § 5. Уравнения с одной переменной.
Можно ли списать ответ без решения?
Лучше сначала решить самостоятельно, а разбор использовать для проверки хода и поиска ошибки.