9 класс Уравнения с одной переменной § 5. Уравнения с одной переменной

ГДЗ по алгебре, 9 класс, Макарычев, номер 228: Уравнения с одной переменной

Математика. Алгебра: 9-й класс: базовый уровень: учебник; 15-е издание, переработанное — Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.; под редакцией Теляковского С.А.

Татьяна Белова, преподаватель алгебры Шпаргача обновлено 11 сентября 2026

← 227 229 →

Условие

Решите уравнения

а) x⁵+x⁴-6x³-6x²+5x+5=0

б) x⁵-x⁴-2x³+2x²-3x+3=0.

Номер как в учебнике. Условие — полный пересказ редакции: те же пункты, числа и факты, не цитата из книги.

Пошаговое решение

Для решения уравнений пятой степени будем использовать метод группировки слагаемых. Цель — разложить многочлен на множители, чтобы приравнять каждый из них к нулю.

а) x⁵+x⁴-6x³-6x²+5x+5=0

Сгруппируем первые два члена, следующие два и последние два: (x⁵+x⁴)-(6x³+6x²)+(5x+5)=0
Вынесем общие множители за скобки в каждой группе: x⁴(x+1)-6x²(x+1)+5(x+1)=0
Теперь вынесем общий множитель (x+1) за скобки: (x+1)(x⁴-6x²+5)=0
Рассмотрим второй множитель x⁴-6x²+5. Это биквадратное уравнение. Сделаем замену t=x², тогда t²-6t+5=0. По теореме Виета корни: t₁=1, t₂=5. Значит, x⁴-6x²+5=(x²-1)(x²-5).
Уравнение принимает вид: (x+1)(x²-1)(x²-5)=0 Заметим, что x²-1=(x-1)(x+1). Тогда: (x+1)²(x-1)(x²-5)=0
Приравниваем каждый множитель к нулю:
- x+1=0⇒x=-1;
- x-1=0⇒x=1;
- x²-5=0⇒x²=5⇒x=±5.

б) x⁵-x⁴-2x³+2x²-3x+3=0

Сгруппируем члены попарно: (x⁵-x⁴)-(2x³-2x²)-(3x-3)=0
Вынесем общие множители: x⁴(x-1)-2x²(x-1)-3(x-1)=0
Вынесем общий множитель (x-1): (x-1)(x⁴-2x²-3)=0
Разложим на множители выражение x⁴-2x²-3. Пусть t=x², тогда t²-2t-3=0. Корни квадратного уравнения: t₁=3, t₂=-1. Так как t=x²≥0, то корень t=-1 не дает действительных корней для x. Для t=3 получаем x²=3. Множитель раскладывается как (x²-3)(x²+1).
Уравнение принимает вид: (x-1)(x²-3)(x²+1)=0
Находим корни:
- x-1=0⇒x=1;
- x²-3=0⇒x²=3⇒x=±3;
- x²+1=0⇒x²=-1 — нет действительных корней.

Проверка: Подставим найденные значения обратно в исходные разложения. В пункте а) произведение (x+1)(x-1)(x²-5) действительно равно исходному многочлену после раскрытия скобок. В пункте б) произведение (x-1)(x²-3)(x²+1) также совпадает с условием. Ответы верны.

Ответ

а) -1; 1; -\sqrt{5}; \sqrt{5}

б) 1; -\sqrt{3}; \sqrt{3}

В обоих случаях применяется метод группировки. Ключевой момент — распознавание общего множителя после первичной группировки и дальнейшее разложение оставшегося многочлена (часто сводящегося к биквадратному или разности квадратов). В пункте б) важно отметить, что множитель x²+1 не имеет действительных корней.

Как решение?

Двойная оценка: понятность и подробность. Можно выбрать одно или оба.

Подробность

У вас другое условие?

Загрузите фото — учтём ваши числа и редакцию.

Решить по фото

Частые вопросы

Это точный номер 228 из моего учебника?

Номер совпадает с учебником «Математика. Алгебра: 9-й класс: базовый уровень: учебник; 15-е издание, переработанное», Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.; под редакцией Теляковского С.А.. Формулировка — пересказ редакции, не дословная цитата. Если в вашей редакции другие числа — загрузите фото.

Какой ответ в задании 228?

Краткий ответ: а) -1; 1; -√5; √5 б) 1; -√3; √3.

Как пользоваться этим разбором?

Сначала прочитайте условие и чертёж, затем шаги решения по порядку и сверьте свой ход с кратким ответом внизу.

Какой учебник имеется в виду?

«Математика. Алгебра: 9-й класс: базовый уровень: учебник; 15-е издание, переработанное», Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.; под редакцией Теляковского С.А.. Проверьте часть, год и автора на обложке. Тема в учебнике: § 5. Уравнения с одной переменной.

Можно ли списать ответ без решения?

Лучше сначала решить самостоятельно, а разбор использовать для проверки хода и поиска ошибки.