9 класс Уравнения с одной переменной § 5. Уравнения с одной переменной

ГДЗ по алгебре, 9 класс, Макарычев, номер 237: Уравнения с одной переменной

Математика. Алгебра: 9-й класс: базовый уровень: учебник; 15-е издание, переработанное — Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.; под редакцией Теляковского С.А.

Надежда Фомина, преподаватель алгебры Шпаргача обновлено 11 сентября 2026

← 236 238 →

Условие

Найдите значения a, при которых

а) сумма дробей (a+1)/(a-2) и (a-4)/(a+1) равна дроби (3a+3)/(a²-a-2)

б) разность дробей (3a-5)/(a²-1) и (6a-5)/(a-a²) равна дроби (3a+2)/(a²+a).

Номер как в учебнике. Условие — полный пересказ редакции: те же пункты, числа и факты, не цитата из книги.

Пошаговое решение

Решим уравнения, приведя дроби к общему знаменателю и учитывая область допустимых значений (ОДЗ).

а) Сумма дробей равна третьей дроби

Уравнение: a+1/a-2+a-4/a+1=3a+3/a²-a-2

1. Разложим знаменатель правой части на множители: a²-a-2=(a-2)(a+1).

2. ОДЗ: a≠2 и a≠-1.

3. Приведем левую часть к общему знаменателю (a-2)(a+1):

(a+1)²+(a-4)(a-2)/(a-2)(a+1)=3(a+1)/(a-2)(a+1)

4. Приравниваем числители (так как знаменатели совпадают и не равны нулю):

(a+1)²+(a-4)(a-2)=3(a+1)

5. Раскрываем скобки:

a²+2a+1+a²-6a+8=3a+3 2a²-4a+9=3a+3 2a²-7a+6=0

6. Решаем квадратное уравнение через дискриминант:

D=(-7)²-4·2·6=49-48=1 a_1,2=7±1/4 a₁=8/4=2, a₂=6/4=1.5

7. Проверка по ОДЗ: корень a=2 не подходит, так как обращает знаменатель в ноль. Корень a=1.5 подходит.

Примечание: В ключе ответа указано «1; 5». Однако при подстановке a=1: ЛЧ 2/-1+-3/2=-2-1.5=-3.5, ПЧ 6/-2=-3. Не равно. При a=5: ЛЧ 6/3+1/6=2+1/6, ПЧ 18/28. Не равно. Вероятно, в условии или ключе учебника опечатка. Строгое решение данного условия дает ответ a=1.5. Если же правая часть была 3a-3/... или другая структура, ответы могли бы отличаться. Но исходя из строгого текста задачи, ответ один.

Пересмотрим условие внимательно. Возможно, я ошибся в арифметике?
(a+1)²=a²+2a+1.
(a-4)(a-2)=a²-6a+8.
Сумма: 2a²-4a+9.
Правая часть числитель: 3a+3.
Ур: 2a²-4a+9=3a+3⇒2a²-7a+6=0.
Корни 2 и 1.5.
Давайте проверим вариант, если ключ верный, то где ошибка в условии?
Если ответ 1: 2(1)²-7(1)+6=1≠0.
Если ответ 5: 2(25)-35+6=21≠0.
Возможно, в правой части было 3a-3/a²-a-2? Тогда 2a²-4a+9=3a-3⇒2a²-7a+12=0 (нет корней).
Возможно, левая часть a-1/a-2+...?
Будем считать, что нужно решить именно данное условие. Ответ a=1.5.

Однако, часто в таких задачах бывает опечатка в знаке или коэффициенте. Давайте попробуем подобрать условие под ответ 1 и 5.
Если корни 1 и 5, то уравнение вида (a-1)(a-5)=0⇒a²-6a+5=0.
Наше уравнение после сокращения: 2a²-7a+6=0. Это не похоже.
Поэтому оставляем математически верный вывод для написанного условия.

б) Разность дробей равна третьей дроби

Уравнение: 3a-5/a²-1-6a-5/a-a²=3a+2/a²+a

1. Разложим знаменатели:

a²-1=(a-1)(a+1)
a-a²=a(1-a)=-a(a-1)
a²+a=a(a+1)

2. ОДЗ: a≠1,a≠-1,a≠0.

3. Преобразуем второе слагаемое левой части, чтобы убрать минус в знаменателе:

-6a-5/-a(a-1)=+6a-5/a(a-1)

Теперь уравнение выглядит так:

3a-5/(a-1)(a+1)+6a-5/a(a-1)=3a+2/a(a+1)

4. Общий знаменатель: a(a-1)(a+1).

5. Умножаем все части на общий знаменатель:

a(3a-5)+(a+1)(6a-5)=(a-1)(3a+2)

6. Раскрываем скобки:

Левая часть: 3a²-5a+(6a²-5a+6a-5)=3a²-5a+6a²+a-5=9a²-4a-5. Правая часть: 3a²+2a-3a-2=3a²-a-2.

7. Приравниваем:

9a²-4a-5=3a²-a-2 6a²-3a-3=0

8. Делим на 3:

2a²-a-1=0

9. Решаем квадратное уравнение:

D=(-1)²-4·2·(-1)=1+8=9 a_1,2=1±3/4 a₁=4/4=1, a₂=-2/4=-0.5

10. Проверка по ОДЗ:

a=1 не входит в ОДЗ (знаменатель a²-1 обращается в 0).
a=-0.5 входит в ОДЗ (-0.5≠0,1,-1).

Ответ: a=-0.5.

Примечание: Ключ указывает «0; 5». Подставим a=0: знаменатель a-a²=0, не входит в ОДЗ. Подставим a=5: ЛЧ 10/24-25/-20=5/12+5/4=20/12=5/3. ПЧ 17/30. Не равно. Математически верный ответ для данного условия — -0.5.

Ответ

а) 1.5

б) -0.5

В обоих пунктах полученные ответы (1.5 и -0.5) расходятся с ключом учебника (1; 5 и 0; 5). Проверка показала, что значения из ключа либо не являются корнями соответствующих квадратных уравнений, либо нарушают ОДЗ (как a=0 и a=1 во втором пункте). Решение выполнено строго по тексту условия.

Как решение?

Двойная оценка: понятность и подробность. Можно выбрать одно или оба.

Подробность

У вас другое условие?

Загрузите фото — учтём ваши числа и редакцию.

Решить по фото

Частые вопросы

Это точный номер 237 из моего учебника?

Номер совпадает с учебником «Математика. Алгебра: 9-й класс: базовый уровень: учебник; 15-е издание, переработанное», Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.; под редакцией Теляковского С.А.. Формулировка — пересказ редакции, не дословная цитата. Если в вашей редакции другие числа — загрузите фото.

Какой ответ в задании 237?

Краткий ответ: а) 1.5 б) -0.5.

Как пользоваться этим разбором?

Сначала прочитайте условие и чертёж, затем шаги решения по порядку и сверьте свой ход с кратким ответом внизу.

Какой учебник имеется в виду?

«Математика. Алгебра: 9-й класс: базовый уровень: учебник; 15-е издание, переработанное», Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.; под редакцией Теляковского С.А.. Проверьте часть, год и автора на обложке. Тема в учебнике: § 5. Уравнения с одной переменной.

Можно ли списать ответ без решения?

Лучше сначала решить самостоятельно, а разбор использовать для проверки хода и поиска ошибки.