9 класс Уравнения с одной переменной § 5. Уравнения с одной переменной

ГДЗ по алгебре, 9 класс, Макарычев, номер 239: Уравнения с одной переменной

Математика. Алгебра: 9-й класс: базовый уровень: учебник; 15-е издание, переработанное — Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.; под редакцией Теляковского С.А.

Павел Лебедев, преподаватель алгебры Шпаргача обновлено 11 сентября 2026

← 238 240 →

Условие

(Для работы в парах) Решите уравнения

а) 1/(x-4) + 1/(x-2) = 1/(x+4) + 1/(x-5)

б) 1/(x+1) + 1/(x+3) = 1/(x+28) + 1/x.

Номер как в учебнике. Условие — полный пересказ редакции: те же пункты, числа и факты, не цитата из книги.

Пошаговое решение

Решим данные рациональные уравнения методом приведения к общему знаменателю или группировки слагаемых. В каждом пункте сначала определим область допустимых значений (ОДЗ), затем преобразуем уравнение и найдем корни.

а) 1/x-4+1/x-2=1/x+4+1/x-5

План решения: Перенесем все слагаемые в одну сторону или сгруппируем так, чтобы упростить вычисления. Заметим, что прямое умножение на общий знаменатель (x-4)(x-2)(x+4)(x-5) приведет к кубическому уравнению, которое сложно решать. Попробуем перенести слагаемые с похожими структурами или использовать замену переменных. Однако здесь проще всего привести дроби к общему знаменателю попарно или перенести всё влево и привести к общему знаменателю.

Вычисление:

ОДЗ: x≠4,x≠2,x≠-4,x≠5.

Перенесем правую часть в левую:

1/x-4-1/x+4+1/x-2-1/x-5=0

Сгруппируем первые две и последние две дроби:

(1/x-4-1/x+4)+(1/x-2-1/x-5)=0

Приведем каждую группу к общему знаменателю:

(x+4)-(x-4)/(x-4)(x+4)+(x-5)-(x-2)/(x-2)(x-5)=0 8/x²-16+-3/x²-7x+10=0 8/x²-16=3/x²-7x+10

Используем свойство пропорции (перекрестное умножение):

8(x²-7x+10)=3(x²-16) 8x²-56x+80=3x²-48 5x²-56x+128=0

Найдем дискриминант квадратного уравнения:

D=(-56)²-4·5·128=3136-2560=576 D=24

Корни уравнения:

x₁=56+24/10=80/10=8 x₂=56-24/10=32/10=3,2

Проверка ОДЗ: числа 8 и 3,2 не совпадают с запрещенными значениями (4,2,-4,5). Оба корня подходят.

б) 1/x+1+1/x+3=1/x+28+1/x

План решения: Аналогично предыдущему пункту, перенесем слагаемые для удобной группировки. Здесь удобно оставить дроби с малыми числами слева и большими справа, либо перенести всё в одну сторону. Попробуем перенести 1/x и 1/x+28 в левую часть, а 1/x+1 и 1/x+3 оставить как есть? Нет, лучше сгруппировать так, чтобы разности числителей были простыми.

Перенесем 1/x и 1/x+28 в левую часть со знаком минус:

1/x+1+1/x+3-1/x+28-1/x=0

Эта группировка не дает очевидного упрощения. Попробуем другую стратегию: перенесем 1/x+1 и 1/x+3 вправо?

0=1/x+28+1/x-1/x+1-1/x+3

Сгруппируем (1/x+28-1/x+3) и (1/x-1/x+1)? Разности знаменателей разные.

Давайте просто приведем исходное уравнение к общему знаменателю по частям. Слева:

x+3+x+1/(x+1)(x+3)=2x+4/x²+4x+3

Справа:

x+x+28/x(x+28)=2x+28/x²+28x

Уравнение принимает вид:

2(x+2)/x²+4x+3=2(x+14)/x²+28x

Сократим обе части на 2:

x+2/x²+4x+3=x+14/x²+28x

ОДЗ: x≠-1,-3,-28,0.

Перекрестное умножение:

(x+2)(x²+28x)=(x+14)(x²+4x+3)

Раскроем скобки:

x³+28x²+2x²+56x=x³+4x²+3x+14x²+56x+42 x³+30x²+56x=x³+18x²+59x+42

Вычтем x³ из обеих частей и перенесем всё в левую:

30x²-18x²+56x-59x-42=0 12x²-3x-42=0

Разделим на 3:

4x²-x-14=0

Найдем дискриминант:

D=(-1)²-4·4·(-14)=1+224=225 D=15

Корни:

x₁=1+15/8=16/8=2 x₂=1-15/8=-14/8=-7/4=-13/4

Проверка ОДЗ: 2 и -1,75 не входят в множество исключений. Ответы верны.

Ответ

а) 3,2; 8

б) -13/4; 2

В обоих случаях использован метод группировки дробей и приведения к квадратному уравнению после сокращения общих множителей или раскрытия скобок. Важно проверить ОДЗ, так как при умножении на выражения с переменной могут появиться посторонние корни (хотя в данном случае их нет).

Как решение?

Двойная оценка: понятность и подробность. Можно выбрать одно или оба.

Подробность

У вас другое условие?

Загрузите фото — учтём ваши числа и редакцию.

Решить по фото

Частые вопросы

Это точный номер 239 из моего учебника?

Номер совпадает с учебником «Математика. Алгебра: 9-й класс: базовый уровень: учебник; 15-е издание, переработанное», Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.; под редакцией Теляковского С.А.. Формулировка — пересказ редакции, не дословная цитата. Если в вашей редакции другие числа — загрузите фото.

Какой ответ в задании 239?

Краткий ответ: а) 3,2; 8 б) -1 34; 2.

Как пользоваться этим разбором?

Сначала прочитайте условие и чертёж, затем шаги решения по порядку и сверьте свой ход с кратким ответом внизу.

Какой учебник имеется в виду?

«Математика. Алгебра: 9-й класс: базовый уровень: учебник; 15-е издание, переработанное», Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.; под редакцией Теляковского С.А.. Проверьте часть, год и автора на обложке. Тема в учебнике: § 5. Уравнения с одной переменной.

Можно ли списать ответ без решения?

Лучше сначала решить самостоятельно, а разбор использовать для проверки хода и поиска ошибки.