9 класс Уравнения с одной переменной § 5. Уравнения с одной переменной

ГДЗ по алгебре, 9 класс, Макарычев, номер 243: Уравнения с одной переменной

Математика. Алгебра: 9-й класс: базовый уровень: учебник; 15-е издание, переработанное — Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.; под редакцией Теляковского С.А.

Артём Савельев, методист по алгебре Шпаргача обновлено 11 сентября 2026

← 242 244 →

Условие

Найти корни уравнений

а) (x+2)/(x-4) в квадрате + 16·(\frac{(x-4)}{(x+2)}) в квадрате = 17

б) (x+1)/(x-3) в квадрате + 18·(\frac{(x-3)}{(x+1)}) в квадрате = 11.

Номер как в учебнике. Условие — полный пересказ редакции: те же пункты, числа и факты, не цитата из книги.

Пошаговое решение

Решим данные уравнения методом замены переменной. Заметим, что в обоих случаях выражения под знаком квадрата являются взаимно обратными.

а) Уравнение: (x+2/x-4)²+16·(x-4/x+2)²=17.

Область допустимых значений (ОДЗ): x≠4 и x≠-2.

Введём замену: пусть t=x+2/x-4. Тогда x-4/x+2=1/t.

Уравнение примет вид: t²+16/t²=17.

Умножим обе части на t² (при t≠0, что верно, так как числитель x+2≠0 по ОДЗ):

t⁴-17t²+16=0.

Это биквадратное уравнение. Пусть y=t², тогда y²-17y+16=0.

По теореме Виета корни: y₁=1, y₂=16.

Вернёмся к t:

Если t²=1, то t=1 или t=-1.
Если t²=16, то t=4 или t=-4.

Теперь найдём x для каждого случая:

x+2/x-4=1⇒x+2=x-4⇒2=-4 (нет решений).
x+2/x-4=-1⇒x+2=-(x-4)⇒x+2=-x+4⇒2x=2⇒x=1.
x+2/x-4=4⇒x+2=4(x-4)⇒x+2=4x-16⇒3x=18⇒x=6.
x+2/x-4=-4⇒x+2=-4(x-4)⇒x+2=-4x+16⇒5x=14⇒x=2.8.

Все найденные значения (1;6;2.8) входят в ОДЗ.

б) Уравнение: (x+1/x-3)²+18·(x-3/x+1)²=11.

ОДЗ: x≠3 и x≠-1.

Замена: t=x+1/x-3, тогда x-3/x+1=1/t.

Уравнение: t²+18/t²=11.

Умножим на t²: t⁴-11t²+18=0.

Пусть y=t²: y²-11y+18=0.

Корни квадратного уравнения: D=121-72=49, y_1,2=11±7/2.

y₁=9, y₂=2.

Случаи для t:

t²=9⇒t=3 или t=-3.
t²=2⇒t=2 или t=-2.

Находим x:

x+1/x-3=3⇒x+1=3x-9⇒2x=10⇒x=5.
x+1/x-3=-3⇒x+1=-3x+9⇒4x=8⇒x=2.
x+1/x-3=2⇒x+1=2(x-3)⇒x(1-2)=-1-32⇒x=-1-32/1-2.

Избавимся от иррациональности в знаменателе для последнего случая:

x=(1+32)(1+2)/(2-1)(2+1)=1+2+32+6/2-1=7+42.

x+1/x-3=-2⇒x+1=-2(x-3)⇒x(1+2)=-1+32⇒x=32-1/2+1.

Умножим числитель и знаменатель на (2-1):

x=(32-1)(2-1)/2-1=3(2)-32-2+1=6-42+1=7-42.

Проверка ОДЗ: все корни 2;5;7+42;7-42 не равны 3 и -1.

Ответ

а) 1; 2,8; 6

б) 2; 5; 7 + 4\sqrt{2}; 7 - 4\sqrt{2}

В пункте а) корень t=1 дает противоречие, поэтому его нет. В пункте б) при решении линейных уравнений с иррациональными коэффициентами важно аккуратно раскрыть скобки и рационализировать знаменатель.

Как решение?

Двойная оценка: понятность и подробность. Можно выбрать одно или оба.

Подробность

У вас другое условие?

Загрузите фото — учтём ваши числа и редакцию.

Решить по фото

Частые вопросы

Это точный номер 243 из моего учебника?

Номер совпадает с учебником «Математика. Алгебра: 9-й класс: базовый уровень: учебник; 15-е издание, переработанное», Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.; под редакцией Теляковского С.А.. Формулировка — пересказ редакции, не дословная цитата. Если в вашей редакции другие числа — загрузите фото.

Какой ответ в задании 243?

Краткий ответ: а) 1; 2,8; 6 б) 2; 5; 7 + 4√2; 7 - 4√2.

Как пользоваться этим разбором?

Сначала прочитайте условие и чертёж, затем шаги решения по порядку и сверьте свой ход с кратким ответом внизу.

Какой учебник имеется в виду?

«Математика. Алгебра: 9-й класс: базовый уровень: учебник; 15-е издание, переработанное», Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.; под редакцией Теляковского С.А.. Проверьте часть, год и автора на обложке. Тема в учебнике: § 5. Уравнения с одной переменной.

Можно ли списать ответ без решения?

Лучше сначала решить самостоятельно, а разбор использовать для проверки хода и поиска ошибки.