ГДЗ по алгебре, 9 класс, Макарычев, номер 244: Уравнения с одной переменной
Математика. Алгебра: 9-й класс: базовый уровень: учебник; 15-е издание, переработанное — Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.; под редакцией Теляковского С.А.
Анна Соколова, преподаватель алгебры Шпаргача обновлено 8 сентября 2026
Условие
Задача-исследование. Существует ли положительное число, сумма которого с обратным ему числом в 13 раз меньше суммы кубов этих чисел? Нужно обсудить выражения, составить уравнение, ввести замену переменной, решить его и выбрать подходящие корни.
Номер как в учебнике. Условие — полный пересказ редакции: те же пункты, числа и факты, не цитата из книги.
Пошаговое решение
План решения:
- Обозначим искомое положительное число за x.
- Запишем обратное к нему число как 1/x.
- Составим уравнение согласно условию задачи: сумма числа и его обратного в 13 раз меньше суммы кубов этих чисел.
- Введем замену переменной для упрощения уравнения.
- Решим полученную систему и найдем значение x.
Вычисление:
Пусть x>0. Тогда обратное число равно 1/x. Сумма кубов равна x3+1/x3.
По условию: x3+1/x3=13(x+1/x)
Введем замену переменной. Пусть t=x+1/x. Так как x>0, то по неравенству Коши t≥2.
Выразим сумму кубов через t. Возведем t в куб: t3=(x+1/x)3=x3+3x2·1/x+3x·1/x2+1/x3=x3+1/x3+3(x+1/x)
Отсюда следует, что x3+1/x3=t3-3t.
Подставим это выражение в исходное уравнение: t3-3t=13t
Перенесем все слагаемые в одну сторону: t3-16t=0
Разложим на множители: t(t2-16)=0
Корни уравнения относительно t: t1=0, t2=4, t3=-4.
Учитываем ограничение t≥2. Подходит только корень t=4.
Вернемся к переменной x: x+1/x=4
Умножим обе части на x (так как x≠0): x2+1=4x
Получаем квадратное уравнение: x2-4x+1=0
Найдем дискриминант: D=(-4)2-4·1·1=16-4=12
Корни уравнения: x1,2=4±12/2=4±23/2=2±3
Проверим условие x>0: x1=2+3>0 — подходит. x2=2-3. Так как 3≈1.73<2, то x2>0 — тоже подходит.
Ответ:
Да, такие числа существуют. Это числа 2+3 и 2-3.
а) Да, существует.
б) Числа: 2+3 и 2-3.
Задача решается методом замены переменной. Ключевой момент — выразить сумму кубов через сумму самих чисел (a3+b3=(a+b)3-3ab(a+b)). В данном случае ab=1. Необходимо проверить ОДЗ и ограничения на новую переменную t.
Как решение?
Двойная оценка: понятность и подробность. Можно выбрать одно или оба.
У вас другое условие?
Загрузите фото — учтём ваши числа и редакцию.
Частые вопросы
Это точный номер 244 из моего учебника?
Номер совпадает с учебником «Математика. Алгебра: 9-й класс: базовый уровень: учебник; 15-е издание, переработанное», Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.; под редакцией Теляковского С.А.. Формулировка — пересказ редакции, не дословная цитата. Если в вашей редакции другие числа — загрузите фото.
Какой ответ в задании 244?
Краткий ответ: а) Да, существует. б) Числа: 2+√3 и 2-√3.
Как пользоваться этим разбором?
Сначала прочитайте условие и чертёж, затем шаги решения по порядку и сверьте свой ход с кратким ответом внизу.
Какой учебник имеется в виду?
«Математика. Алгебра: 9-й класс: базовый уровень: учебник; 15-е издание, переработанное», Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.; под редакцией Теляковского С.А.. Проверьте часть, год и автора на обложке. Тема в учебнике: § 5. Уравнения с одной переменной.
Можно ли списать ответ без решения?
Лучше сначала решить самостоятельно, а разбор использовать для проверки хода и поиска ошибки.