9 класс Уравнения с одной переменной § 5. Уравнения с одной переменной

ГДЗ по алгебре, 9 класс, Макарычев, номер 242: Уравнения с одной переменной

Q: Это точный номер 242 из моего учебника?

Номер совпадает с учебником «Математика. Алгебра: 9-й класс: базовый уровень: учебник; 15-е издание, переработанное», Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.; под редакцией Теляковского С.А.. Формулировка — пересказ редакции, не дословная цитата. Если в вашей редакции другие числа — загрузите фото.

Q: Какой ответ в задании 242?

Краткий ответ: а) -1; 3 б) -4; 3 в) -2; 4.

Q: Как пользоваться этим разбором?

Сначала прочитайте условие и чертёж, затем шаги решения по порядку и сверьте свой ход с кратким ответом внизу.

Q: Какой учебник имеется в виду?

«Математика. Алгебра: 9-й класс: базовый уровень: учебник; 15-е издание, переработанное», Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.; под редакцией Теляковского С.А.. Проверьте часть, год и автора на обложке. Тема в учебнике: § 5. Уравнения с одной переменной.

Q: Можно ли списать ответ без решения?

Лучше сначала решить самостоятельно, а разбор использовать для проверки хода и поиска ошибки.

Математика. Алгебра: 9-й класс: базовый уровень: учебник; 15-е издание, переработанное — Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.; под редакцией Теляковского С.А.

Светлана Крылова, методист по алгебре Шпаргача обновлено 11 сентября 2026

← 241 243 →

Условие

(Для работы в парах) Решите уравнения методом введения новой переменной

а) 12/(x²-2x+3) = x²-2x-1

б) 12/(x²+x-10) - 6/(x²+x-6) = 5/(x²+x-11)

в) 16/(x²-2x) - 11/(x²-2x+3) = 9/(x²-2x+1).

Номер как в учебнике. Условие — полный пересказ редакции: те же пункты, числа и факты, не цитата из книги.

Пошаговое решение

Для решения уравнений методом введения новой переменной необходимо найти повторяющееся выражение в знаменателях или числителях и заменить его на новую переменную t. После этого решаем полученное рациональное уравнение относительно t, а затем возвращаемся к исходной переменной x.

а) Уравнение: 12/x²-2x+3=x²-2x-1

Заметим, что в левой части в знаменателе стоит x²-2x+3, а в правой части есть x²-2x. Выразим правую часть через знаменатель левой. Пусть t=x²-2x+3. Тогда x²-2x=t-3. Подставим это в правую часть: x²-2x-1=(t-3)-1=t-4. Уравнение принимает вид: 12/t=t-4 При условии t≠0 умножим обе части на t: 12=t(t-4) t²-4t-12=0 По теореме Виета корни: t₁=6, t₂=-2. Теперь вернемся к замене t=x²-2x+3. 1) Если t=6: x²-2x+3=6 x²-2x-3=0 Корни: x₁=3, x₂=-1. 2) Если t=-2: x²-2x+3=-2 x²-2x+5=0 Дискриминант D=(-2)²-4·1·5=4-20=-16<0. Действительных корней нет. Ответ для пункта а): -1;3.

б) Уравнение: 12/x²+x-10-6/x²+x-6=5/x²+x-11

Все знаменатели содержат выражение x²+x. Заметим разницу между константами. Чтобы упростить, можно попробовать подобрать замену так, чтобы знаменатели стали простыми сдвигами от одной переменной. Однако здесь удобнее заметить структуру. Пусть y=x²+x. Тогда уравнение: 12/y-10-6/y-6=5/y-11 Это дробно-рациональное уравнение. Приведем левую часть к общему знаменателю (y-10)(y-6): 12(y-6)-6(y-10)/(y-10)(y-6)=5/y-11 Числитель слева: 12y-72-6y+60=6y-12=6(y-2). Получаем: 6(y-2)/(y-10)(y-6)=5/y-11 Перемножаем крест-накрест (ОДЗ: y≠10,y≠6,y≠11): 6(y-2)(y-11)=5(y-10)(y-6) Раскроем скобки: Левая часть: 6(y²-13y+22)=6y²-78y+132. Правая часть: 5(y²-16y+60)=5y²-80y+300. Приравниваем: 6y²-78y+132=5y²-80y+300 y²+2y-168=0 Решаем квадратное уравнение. Дискриминант D=2²-4(1)(-168)=4+672=676=26². y_1,2=-2±26/2 y₁=24/2=12. y₂=-28/2=-14. Оба значения не попадают под ОДЗ (12≠10,6,11 и -14≠10,6,11). Возвращаемся к x: x²+x=y. 1) x²+x=12⇒x²+x-12=0. Корни: x₁=3,x₂=-4. 2) x²+x=-14⇒x²+x+14=0. D=1-56<0. Нет корней. Ответ для пункта б): -4;3.

в) Уравнение: 16/x²-2x-11/x²-2x+3=9/x²-2x+1

Заметим общее выражение x²-2x. Пусть t=x²-2x. Тогда знаменатели примут вид: t, t+3, t+1. Уравнение: 16/t-11/t+3=9/t+1 ОДЗ: t≠0,t≠-3,t≠-1. Приведем левую часть к общему знаменателю t(t+3): 16(t+3)-11t/t(t+3)=9/t+1 Числитель слева: 16t+48-11t=5t+48. 5t+48/t(t+3)=9/t+1 Крест-накрест: (5t+48)(t+1)=9t(t+3) 5t²+5t+48t+48=9t²+27t 5t²+53t+48=9t²+27t Переносим все в одну сторону: 4t²-26t-48=0 Сократим на 2: 2t²-13t-24=0 Дискриминант D=(-13)²-4·2·(-24)=169+192=361=19². t_1,2=13±19/4 t₁=32/4=8. t₂=-6/4=-1.5. Проверка ОДЗ: 8≠0,-3,-1; -1.5≠0,-3,-1. Оба корня подходят для t. Возвращаемся к x: x²-2x=t. 1) x²-2x=8⇒x²-2x-8=0. По теореме Виета: x₁=4,x₂=-2. 2) x²-2x=-1.5⇒x²-2x+1.5=0. Умножим на 2: 2x²-4x+3=0. D=16-24<0. Нет корней. Ответ для пункта в): -2;4.

Ответ

а) -1; 3

б) -4; 3

в) -2; 4

Во всех пунктах использована замена переменной для упрощения структуры уравнения. В пункте а) замена была прямой, во втором пункте потребовалось решение дробно-рационального уравнения относительно вспомогательной переменной, в третьем — аналогично второму. Проверка ОДЗ обязательна при работе с дробями.

Как решение?

Двойная оценка: понятность и подробность. Можно выбрать одно или оба.

Подробность

У вас другое условие?

Загрузите фото — учтём ваши числа и редакцию.

Решить по фото

Частые вопросы

Это точный номер 242 из моего учебника?

Номер совпадает с учебником «Математика. Алгебра: 9-й класс: базовый уровень: учебник; 15-е издание, переработанное», Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.; под редакцией Теляковского С.А.. Формулировка — пересказ редакции, не дословная цитата. Если в вашей редакции другие числа — загрузите фото.

Какой ответ в задании 242?

Краткий ответ: а) -1; 3 б) -4; 3 в) -2; 4.

Как пользоваться этим разбором?

Сначала прочитайте условие и чертёж, затем шаги решения по порядку и сверьте свой ход с кратким ответом внизу.

Какой учебник имеется в виду?

«Математика. Алгебра: 9-й класс: базовый уровень: учебник; 15-е издание, переработанное», Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.; под редакцией Теляковского С.А.. Проверьте часть, год и автора на обложке. Тема в учебнике: § 5. Уравнения с одной переменной.

Можно ли списать ответ без решения?

Лучше сначала решить самостоятельно, а разбор использовать для проверки хода и поиска ошибки.